Nicht unendich viele Maxima zwischen 2 Nullstellen

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abc-123 Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht unendich viele Maxima zwischen 2 Nullstellen
Zeige, dass es keine stetige Funktion f: [0,1] -> R, x -> f(x) gibt, die unendlich viele Nullstellen besitzt derart, dass zwischen zwei Nullstellen ein lokales Maximum existiert, dessen Funktionswert 1 ist.

Anhand welcher Funktion oder wie kann ich dies am besten zeigen?
Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Das schreit nach einem Widerspruchsbeweis.
Nehme also an, dass es so eine Funktion gibt und leite einen Widerspruch her.
Das wäre so mein erster Vorschlag für dich.

Zu welcher Vorlesung gehört diese Aufgabe? Analysis 1?
Welche Themen habt ihr zuletzt behandelt?

Ich frage damit ich weiß welche Mittel dir zur Verfügung stehen. Augenzwinkern
 
 
abc-123 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, Analysis I ist richtig Augenzwinkern
Diese Aufgabe bezieht sich auf das Thema "Die Zahl "
kurz vorher wurden Potenzreihen-Ableitungen und Mittelwertsatz thematisiert.

Welche Funktion wäre denn Möglich, um einen derartigen Widerspruch herzuleiten?
Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Nun. Eine Funktion wird dir ja nicht reichen. Damit hättest du nichts gezeigt.
Du musst zeigen, dass es KEINE solche Funktion gibt, d.h. du nimmst eine beliebige Funktion mit den obigen Eigenschaften (ganz allgemein) und versuchst einen Widerspruch herzuleiten.

Das sollte erst einmal rein von der Logik her klar sein, bevor du weiter versuchst die Aufgabe zu lösen.

Es geht bei deiner Aufgabe also um stetige Funktionen, Nullstellen und Maxima.
Welche Sätze kennst du in diesem Zusammenhang?
Welcher dieser Sätze scheint für deine Aufgabe hilfreich zu sein?
abc-123 Auf diesen Beitrag antworten »

Also um mal eben die Logik zu klären: ich nehm eine Funktion, die der Aufgabenstellung entspricht (also, dass keine Funktion existiert, die unendlich viele Nullstellen besitzt, derart dass zwischen je zwei Nullstellen ein lokales Maximum existiert, dessen Funktionswert >= 1 ist), nehme aber in dem Moment noch an, dass es eine derartige Funktion gibt. Dann zeige ich, dass es diese Funktion nicht gibt?

Im Bezug auf Nullstellen und Maxima kenne ich die Sätze "Extrema und Ableitung", "Ableitung und Wachstumsverhalten". Der zweite könnte hilfreich sein?
Außerdem könnten vielleicht folgende Sätze aus der eigentlichen Vorlesung hilfreich sein: "Periodizitätseigenschaften von Sinus und Kosinus" und "Polarkoordinaten".
Allerdings weiß ich nicht, wie eine derartige beliebige Funktion aussehen soll. unglücklich ist z.B. die Sinusfunktion eine Möglichkeit?
Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »

1.) Ja, wie sieht denn ein Widerspruchsbeweis ganz allgemein aus? Wie geht man da generell vor?

2.) Erfüllt die Sinusfunktion die Eigenschaften? Nein. Warum nicht?
Außerdem muss die Funktion f beliebig sein, das heißt du kannst sie erstmal gar nicht explizit angeben.

3.) Versuch mal eine Skizze zu machen von der Funktion wie sie qualitativ aussehen müsste. Stell deine Skizze dann am besten mal hier rein, damit ich sie auch sehen kann. Wenn du dir die Skizze anschaust, was glaubst du wo es Probleme geben kann bzw. wo man einen Widerspruch bekommen kann? Welche Eigenschaft wird vielleicht nicht von der Funktion f erfüllt?

4.) Habt ihr Funktionenfolgen und deren Konvergenz behandelt?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Kurze Beweisskizze:

Die Funktion ist auf dem Intervall [0, 1] definiert, also einem abgeschlossenen Intervall. Wenn sie dort unendliche viele Nullstellen besitzt, hat die Menge der Nullstellen mindestens einen Häufungspunkt in diesem Intervall, der eventuell auch auf dem Rand des Intervalls liegen kann.

Man betrachte solch einen Häufungspunkt . Dann kann man aufgrund der Stetigkeit von durch einen Widerspruchsweis zeigen, dass auch Nullstelle von ist. Jetzt zeigt man, dass es nicht zwischen je zwei Nullstellen einen Funktionswert geben kann, weil es dann in jeder beliebig kleinen Umgebung von Funktionswerte gäbe, was im Widerspruch zu und stetig steht.
abc-123 Auf diesen Beitrag antworten »

1. bei einem Widerspruchsbeweis geht man vom Gegenteil der Behauptung aus, also man stellt eine Annahme auf. Diese Annahme führt man zum Widerspruch und aufgrund eines logischen Beweisganges ist dann gezeigt, dass die Annahme falsch, und damit die Behauptung wahr ist.

2. Die Sinusfunktion erfüllt die Eigenschaften nicht, weil es zwischen zwei Nullstellen auch den Funktionswert -1 gibt, und es sich dabei um ein lokales Minimum - und nicht ein lokales Maximum - handelt

3. da es unendlich viele Nullstellen gibt, und die Funktion stetig ist, kann der Funktionswert spätestens am Häufungspunkt der Nullstellen nicht mehr den Wert 1 erreichen.

4. ja haben wir

zu Huggy: also muss ich den Widerspruchsbeweis über Stetigkeit und Konvergenz zeigen?
Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst einen Widerspruch zur Stetigkeit zeigen. (z.B. mittels Kriterium)

Stell dir das anschaulich so vor:
Es gibt einen Häufungspunkt der Nullstellen, sie liegen dort also "unendlich nah" beieinander. Sagen wir die haben einen Abstand .
Dazwischen ist aber ein Maxima mit Funktionswert im Widerspruch zur Stetigkeit.

Das musst du jetzt nur noch sauber aufschreiben.


Zur Frage mit den Funktionenfolgen:
Man könnte auch alternativ zeigen, dass eine Funktionenfolge , die als Grenzfunktion mit obigen Eigenschaften hat, nie gleichmäßig konvergieren kann.
Damit kann f dann auch nicht stetig sein. Widerspruch.

Die Idee ist also sehr ähnlich, nur andere Werkzeuge.
Ich würde mich aber für den Ansatz von Huggy entscheiden.
abc-123 Auf diesen Beitrag antworten »

muss ich irgendwie einen Häufungspunkt bestimmen oder kann ich einfach davon ausgehen, dass es einen gibt?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Mal ne kurze Frage hierzu:

Zitat:
Man könnte auch alternativ zeigen, dass eine Funktionenfolge , die als Grenzfunktion mit obigen Eigenschaften hat, nie gleichmäßig konvergieren kann. Damit kann f dann auch nicht stetig sein. Widerspruch.


Wie willst du das machen? Gleichmäßige Grenzwerte stetiger Funktionen sind zwar stetig, die Umkehrung gilt aber nicht. Hattest du noch was anderes im Sinn?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von abc-123
muss ich irgendwie einen Häufungspunkt bestimmen oder kann ich einfach davon ausgehen, dass es einen gibt?

Es genügt, davon auszugehen, dass es einen gibt. Einen entsprechenden Satz solltet ihr gehabt haben.
Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Mal ne kurze Frage hierzu:

Zitat:
Man könnte auch alternativ zeigen, dass eine Funktionenfolge , die als Grenzfunktion mit obigen Eigenschaften hat, nie gleichmäßig konvergieren kann. Damit kann f dann auch nicht stetig sein. Widerspruch.


Wie willst du das machen? Gleichmäßige Grenzwerte stetiger Funktionen sind zwar stetig, die Umkehrung gilt aber nicht. Hattest du noch was anderes im Sinn?


Meine Idee war folgende: Wir nehmen an f wäre stetig.
Der Raum der reellwertigen Polynome auf [0,1] liegt ja dicht in C ([0,1]) bzgl. der sup-Norm, d.h. es gibt eine Folge von Polynomen, die gleichmäßig gegen f konvergiert.
Jetzt bastelt man sich einen Widerspruch zur Stetigkeit.

Ich weiß nicht, ob das funktioniert. Es war nur so ein Gedanke von mir.
In jedem Fall aber wäre es hier der umständlichere Weg, denke ich.
abc-123 Auf diesen Beitrag antworten »

es gibt ja unendlich viele Nullstellen. Darf ich somit einfach behaupten, dass der Häufungspunkt z.B. bei f(0)=0 liegt?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, denn dort muss er ja nicht liegen. Nimm an, der Häufungspunkt liegt bei ohne sonstige Annahmen über .
abc-123 Auf diesen Beitrag antworten »

okay schade unglücklich
Das ganze ist zwar anschaulich klar, aber jetzt fehlt mir leider wieder komplett die Idee, wie ich das am besten aufschreiben soll.
im Prinzip weiß ich ja, dass f(x0) = 0 ist. kann ich also schon davon ausgehen, dass |f(x) - f(x0)| = |f(x)| ist? Wie stelle ich damit einen Bezug zu Delta her?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Annahme: Es sei . Man wähle z. B. . Dann ist . Wegen der Stetigkeit von gibt es ein mit



Da aber Häufungspunkt der Nullstellen von f ist, gibt es ein mit im Widerspruch zu

Also ist Nullstelle von .
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