Zwei Extremstellen finden

17.01.2014, 15:55

Tipso

Zwei Extremstellen finden

Hallo,

Ich weiß nicht wie ich auf zwei extremstellen komme.
Mir ist klar, dass ich den Lagrange anwenden muss und ich erhalte dann auch den richtigen Lagrangemultiplikator: 0.085.

Habe dann auch die optimalen Werte x_1 und x_2 aber anscheinend gibt es noch weitere? verwirrt

17.01.2014, 16:46

Tipso

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Weitere Info, bei der ich aber nicht sicher bin.

$\begin{eqnarray*} a(1) = x_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b(2) = x_2 \end{eqnarray*}$

17.01.2014, 17:24

Dopap

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was soll das sein.

stell doch erst mal deine eine Lösung vor. Vorerst egal ob $\begin{eqnarray*} (b_1,b_2) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (a_1,a_2) \end{eqnarray*}$ benannt.

Dir ist schon klar, dass hier im R² eine Gerade mit einem Kreis geschnitten wird ??

17.01.2014, 20:08

Tipso

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Gelernt habe ich es mittels Lagrange:

$\begin{eqnarray*} L = 20x_1 + 60x_2 - \lambda \left(36x_1^2+64x_2^2\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta f}{\delta x_1 \delta x_2}(x_1, x_2) = 20 - \lambda 74x_1 \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} x_1* = \frac{20}{74\lambda } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta f}{\delta x_2 \delta x_2}(x_1, x_2) = 60 - \lambda 128x_2 \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} x_2* = \frac{60}{128\lambda } \end{eqnarray*}$

Nun setze ich $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ in die Nebenfunktion ein:

$\begin{eqnarray*} N = 36x_1^2+64x_2^2= 2304 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N = 36 \left(\frac{20}{74\lambda }\right)^2 +64\left(\frac{60}{128\lambda }\right)^2 \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \lambda = 0.085 \end{eqnarray*}$

soweit bin ich gekommen.

eingesetzt in x_1* und x_2* ergibt a_1 und b_2.

$\begin{eqnarray*} x_1* = 3.175 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2* = 5.507 \end{eqnarray*}$

jetzt weiß ich nicht mehr weiter ..
Wie erhalte ich a_2 und b_1??

17.01.2014, 20:28

Dopap

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Zitat:

Original von Tipso
Gelernt habe ich es mittels Lagrange:

$\begin{eqnarray*} L = 20x_1 + 60x_2 - \lambda \left(36x_1^2+64x_2^2 - {\color{red}2304}\right) \end{eqnarray*}$

allzuviel Richtiges wohl nicht ?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta^{\color{red}2 }f}{\delta x_1 \delta x_2}(x_1, x_2) = 20 - \lambda 74x_1 \end{eqnarray*}$

und was soll das sein ?

17.01.2014, 20:35

Tipso

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Formale Fehler, sry.

$\begin{eqnarray*} L = 20x_1 + 60x_2 - \lambda \left(36x_1^2+64x_2^2-2304\right) \end{eqnarray*}$

Der Rest müsste passen.
Weiß aber jetzt nicht wie ich a_2 und b_1 erhalte ..

17.01.2014, 20:41

Dopap

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nochmal: wo braucht man $\begin{eqnarray*} \frac { \partial ^2 }{\partial x_1 \partial x_2 } L(x_1,x_2,\lambda) \end{eqnarray*}$ verwirrt

klär mich bitte auf!

17.01.2014, 20:45

Tipso

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Achso,

Das wäre die zweite Ableitung ist natürlich auch falsch.
Habe ich oben ediert.

Ist natürlich falsch, da ich die erste Ableitung brauche. Freude

thx.

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta }{\delta x_1 \delta x_2}L(x_1, x_2) = 20 - \lambda 74x_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta }{\delta x_2 \delta x_2}L(x_1, x_2) = 60 - \lambda 128x_2 \end{eqnarray*}$

17.01.2014, 20:49

Tipso

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Also ich habe es so gelernt.

Wie würdest du hier vorgehen?

17.01.2014, 21:02

Dopap

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ja ja, das kennt man schon: das habe ich so gelernt unglücklich

ich würde den Gradienten der Lagrange-funktion dem Nullvektor gleichsetzten um die notwendige Bedingung für lokale Extrema zu finden.

Das hat doch wenigstens implizit eine Begründung.

17.01.2014, 21:11

Tipso

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na gut, da bin ich natürlich total überfragt.

Muss mich dann in die Dinge einlesen.

Wir haben es immer mittels Lagrange und partiel ableiten gemacht.
Damit habe ich dann immer die optimalen Werte erhalten.

In diesem Fall ging es aber um meherere Extrema ... verwirrt

17.01.2014, 21:37

Dopap

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Zitat:

Original von Tipso
Wir haben es immer mittels Lagrange und partiel ableiten gemacht.
Damit habe ich dann immer die optimalen Werte erhalten.

Das ist ja auch richtig, aber es werden nur die ersten partiellen Ableitungen von L gebildet
(hier 3 mal ) und Null gesetzt.

und: das System kann mehre Lösungen haben.
---------------------------------------------------------------------
Vergleich mit früher: Extrema von f(x):

f'(x)= 0 kann mehrere Lösungen haben ( Hoch und Tiefpunkte ...)

17.01.2014, 21:46

Tipso

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Zitat:

(hier 3 mal ) und Null gesetzt.

Ich habe es nur 2x gemacht. verwirrt

Zitat:

Vergleich mit früher: Extrema von f(x):f'(x)= 0 kann mehrere Lösungen haben ( Hoch und Tiefpunkte ...)

Sowohl die zweite Ableitung von x_1* als auch die von x_2* sind negativ, demnach handelt es sich um Hochpunkte.

17.01.2014, 21:59

Dopap

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jetzt aber Obacht Tipso !

1.) $\begin{eqnarray*} L(x_1,x_2, \lambda) \end{eqnarray*}$ hat 3 Variable...

Demnach auch 3 partielle Ableitungen...

Du kannst nicht eine partielle Ableitung isoliert Null setzen und dann wie früher mit der 2. Ableitung weitermachen.
Das ist Unfug !!!!

Du musst zuerst das System der 3 partiellen Ableitung lösen.

2.) Über die Frage ob Min oder Max wird später entschieden !!!!!

17.01.2014, 22:07

Tipso

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$\begin{eqnarray*} \frac{\delta }{\delta x_1 \delta x_2}L(x_1, x_2) = 20 - \lambda 74x_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta }{\delta x_2 \delta x_2}L(x_1, x_2) = 60 - \lambda 128x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta }{\delta\lambda}L(\lambda) = 36x_1^2-64x_2^2+2304 \end{eqnarray*}$

17.01.2014, 22:16

Dopap

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schon wieder doppelte partielle Ableitungen verwirrt

noch ein Versuch:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac {\partial}{\partial x_1} L(x_1,x_2,\lambda) \\ \frac {\partial}{\partial x_2} L(x_1,x_2,\lambda) \\ \frac {\partial}{\partial \lambda } L(x_1,x_2,\lambda) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

17.01.2014, 22:24

Tipso

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Ich habe nun 3 Gleichungen und alle diese Gleichungen müssen 0 ergeben.

Durch umstellen kann ich schauen, ob ich für x_1, x_2 und Lamda Werte erhalte. verwirrt

17.01.2014, 22:27

Dopap

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genau so ! nur ist das ein NLGS und geht nicht nach Schema F

17.01.2014, 22:50

Tipso

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NLGS sagt mir leider nichts. (googled it)

Ich hätte es so gemacht, wie am Anfang vorgeschlagen:

$\begin{eqnarray*} L = 20x_1 + 60x_2 - \lambda \left(36x_1^2+64x_2^2\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta f}{\delta x_1 \delta x_2}(x_1, x_2) = 20 - \lambda 72x_1 \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} x_1* = \frac{20}{72\lambda } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta f}{\delta x_2 \delta x_2}(x_1, x_2) = 60 - \lambda 128x_2 \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} x_2* = \frac{60}{128\lambda } \end{eqnarray*}$

Nun setze ich $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ in die Nebenfunktion ein:

$\begin{eqnarray*} N = 36x_1^2+64x_2^2= 2304 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N = 36 \left(\frac{20}{72\lambda }\right)^2 +64\left(\frac{60}{128\lambda }\right)^2 =2304 \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \lambda = 0.085 \end{eqnarray*}$

Dies wiederum in x_1* und x_2* und ich erhalte daraus x_1 und x_2.

17.01.2014, 23:16

Dopap

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NLGS = Nicht Lineares Gleichungs System

Ansonsten bin ich jetzt weg !

17.01.2014, 23:41

Tipso

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thx.

Ich werd versuchen Morgen in aller Frische eine Lösung dafür zu finden.

G8
Ich erhalte an sich schon die Werte aber verstehe nicht wie ich es nach deiner Ansicht lösen muss bzw. wo meine Fehler sind.

Dazu verstehe ich nicht was a(1),a(2) und b(1)B(2) sind.

19.01.2014, 15:00

Tipso

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Was mir hier noch fehlt ist zu verstehen was den nun a(1) a(2) und b(1) b(2) ist und was der Unterschied zwischen diesen Dingen den genau ist?

27.01.2014, 20:01

Tipso

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Ich bin immer noch am raten, was nun b(1)b(2) und a(1)a(2) ist und was die Unterschiede sind.

Mir scheint es so, dass es sich um Maximum und Minimum handelt.

Beispiel, ein Berg der auf einem See gespiegelt wird, also die Bergspitze ist das Maximum und a(1)a(2) und b(1)b(2) ist der Minimum, also die Spitze vom Spiegelbild??

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