Lösung folgender DGL: dx + (x-e^(-y)) dy = 0

17.01.2014, 18:48	Prostylor	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung folgender DGL: dx + (x-e^(-y)) dy = 0 Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe das Problem, dass ich genannte DGL lösen muss, um das Tracerverhalten innerhalb einer Kaskade zu simulieren. Meine Ideen: Leider sind meine Kenntnisse auf diesem Gebiet reichlich eingerostet, sodass ich nach zwei Stunden etwas verzweifle. Wäre schön, wenn mir hier jemand helfen könnte. Vielen Dank
18.01.2014, 17:18	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Am besten faßt man $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ als Funktion von $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ auf: $\begin{eqnarray} x=x(y) \end{eqnarray}$ . Wenn man die Ableitung nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ mit einem Punkt bezeichnet, führt das auf die lineare Differentialgleichung $\begin{eqnarray} \dot{x} + x - \operatorname{e}^{-y} = 0 \end{eqnarray}$ Sie besitzt offenbar die Lösung $\begin{eqnarray} x = y \cdot \operatorname{e}^{-y} \end{eqnarray}$ . Der Lösungsraum der homogenen Differentialgleichung $\begin{eqnarray} \dot{x} + x = 0 \end{eqnarray}$ wird von $\begin{eqnarray} x = \operatorname{e}^{-y} \end{eqnarray}$ erzeugt. Mit einer Konstanten $\begin{eqnarray} c \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ sind also die Funktionen $\begin{eqnarray} x = (y+c) \cdot \operatorname{e}^{-y} \end{eqnarray}$ die Lösungen der Differentialgleichung. Die explizite Auflösung nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ist nicht möglich.

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