Komplexe Zahlen

17.01.2014, 21:04

Meniko

Komplexe Zahlen

Meine Frage:
Hallo

bei der Vorbereitung für unsere Mathe Klausur hänge ich bei einer Aufgabe unheimlich fest. Bzw sogar bei zwei. Vllt könnt ihr mir ja helfen.
Es handelt sich um das bestimmen von $\begin{eqnarray*} z \in C \end{eqnarray*}$

1. $\begin{eqnarray*} z-2(z*)=i \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} iz+(1+i)(z*)=0 \end{eqnarray*}$

( $\begin{eqnarray*} (z*) \end{eqnarray*}$ soll konjugiert bedeuten)

Meine Ideen:
1. Ich löse ersteinmal ein bisschen auf, vereinfache und teile dann durch 3
$\begin{eqnarray*} z-2(z*)=i a+bi-2a+2bi=1 -a+3bi=i -a+bi=i/3 \end{eqnarray*}$
Nun würde ich

$\begin{eqnarray*} a+bi=z -z=i/3 \end{eqnarray*}$
bzw
$\begin{eqnarray*} z=-i/3 \end{eqnarray*}$

Bei der Lösung verschwindet das minus....wo ist dieses Minus hin???

2.Auch hier fange ich mit auflösen, vereinfachen etc. an
$\begin{eqnarray*} iz+(1+i)(z*)=0 iz+(z*)+(z*)i=0 i(z+(z*)=-(z*) /:i z+(z*)=-\frac{(z*)}{i} > z+(z*)=i(z*) \end{eqnarray*}$
Wenn ich jetzt durch z* teile müsste ich ja z=i-1 bekommen.
Laut Wolfram Alpha sollte aber z=0 raus kommen.

Wenn ihr mich auf den richtigen Weg führt wäre ich euch sehr dankbar.
Habe ich mich irgendwo verrechnet oder irgendwo eine Regel nicht beachtet?

17.01.2014, 21:25

10001000Nick1

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RE: Komplexe Zahlen

Zitat:

Original von Meniko
Meine Frage:
1. Ich löse ersteinmal ein bisschen auf, vereinfache und teile dann durch 3
$\begin{eqnarray*} z-2(z*)=i a+bi-2a+2bi=1 -a+3bi=i -a+bi=i/3 \end{eqnarray*}$

Die letzte Zeile stimmt nicht. Da müsste $\begin{eqnarray*} -\frac{a}{3}+bi=\frac{i}{3} \end{eqnarray*}$ stehen.

Das Dividieren durch 3 ist hier aber gar nicht nötig. Du hast ja $\begin{eqnarray*} -a+3bi=i \end{eqnarray*}$ , das kann man auch schreiben als $\begin{eqnarray*} -a+3bi=0+1\cdot i. \end{eqnarray*}$ Fällt dir jetzt auf, wie man a und b bestimmen kann?

Bei der zweiten Aufgabe kanst du genauso vorgehen: Du setzt $\begin{eqnarray*} z=c+di. \end{eqnarray*}$ Das setzt du in die Gleichung ein und kannst dann genauso vorgehen wie oben.

17.01.2014, 21:49

Chrispie

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Danke das hat mir schon geholfen.

Zu 1.
Das heißt dadurch das der Real Anteil 0 ist kann ich das minus vergessen und z normal einsetzten?

Zu 2.
Da kann ich dir nicht ganz folgen.
Ich habe ja z= -1+1i herraus.

Ist mein Ansatz durch (z*) zuteilen den korrekt? Bzw darf ich das dann rauskürzen?

mfg
Edit: Hab mich mal angemeldet Wink

17.01.2014, 22:41

10001000Nick1

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RE: Komplexe Zahlen
Na dann: Willkommen

im Matheboard! smile

Zitat:

Original von Chrispie
Zu 1.
Das heißt dadurch das der Real Anteil 0 ist kann ich das minus vergessen und z normal einsetzten?

Ja, der Realteil ist 0. Aber was meinst du mit "z normal einsetzen"?

Bei der zweiten Aufgabe habe ich gerade einen Fehler entdeckt:

Zitat:

Original von Meniko
$\begin{eqnarray*} iz+(1+i)(z*)=0 iz+(z*)+(z*)i=0 i(z+(z*)=-(z*) /:i z+(z*)=-\frac{(z*)}{i} > z+(z*)=i(z*) \end{eqnarray*}$
Wenn ich jetzt durch z* teile müsste ich ja z=i-1 bekommen.

Nein, da erhältst du $\begin{eqnarray*} \frac{z}{z*}=i-1. \end{eqnarray*}$ Allerdings musst du da den Fall $\begin{eqnarray*} z*=0 \end{eqnarray*}$ ausschließen.

Edit: Ich sehe gerade, dass es hier nicht sinnvoll wäre, durch z* zu dividieren. Setze lieber in der Gleichung $\begin{eqnarray*} z+(z*)=i(z*) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z=c+di \end{eqnarray*}$ ein. Dann kommst du ziemlich leicht zur Lösung.

17.01.2014, 23:36

Chrispie

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Na dann: Willkommen

im Matheboard! smile

Zitat:

Original von Chrispie
Zu 1.
Das heißt dadurch das der Real Anteil 0 ist kann ich das minus vergessen und z normal einsetzten?

Ja, der Realteil ist 0. Aber was meinst du mit "z normal einsetzen"?

Wenn -a=0 ist wäre ja a=0 also habe ich ja a+bi=z

Zitat:

Bei der zweiten Aufgabe habe ich gerade einen Fehler entdeckt:

Zitat:

Hopla, Fehler auch entdeckt.
Ich komme immer noch nicht weiter.
Das konjugierte Z auch einsetzen?

Ich habe das mal so gemacht:
$\begin{eqnarray*} a+bi+a-bi=i(a-bi) 2a=ai-bi^2 2a=ai+b a=\frac{(ai+b)}{2} \end{eqnarray*}$

Was mache ich den dann mit ai. Das wäre doch ein reeler Anteil mit i =?

17.01.2014, 23:57

Dopap

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2.) nur mal so bemerkt:

für $\begin{eqnarray*} z =0 \, \text {ist auch } \,\bar z =0 \end{eqnarray*}$

demnach ist z=0 eine Lösung.

17.01.2014, 23:59

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Chrispie
Wenn -a=0 ist wäre ja a=0 also habe ich ja a+bi=z

Naja, das ist ja gerade die Definition von z.
Man macht das so: $\begin{eqnarray*} -a+3bi=0+1i\Rightarrow -a=0\text{ und } 3b=1 \Rightarrow a=0\text{ und } b=\frac{1}{3}. \end{eqnarray*}$
Also ist $\begin{eqnarray*} z=a+bi=\frac{1}{3}i. \end{eqnarray*}$
Jetzt verstanden? smile

Zitat:

Original von Chrispie
Ich habe das mal so gemacht:
$\begin{eqnarray*} a+bi+a-bi=i(a-bi) 2a=ai-bi^2 2a=ai+b a=\frac{(ai+b)}{2} \end{eqnarray*}$

Was mache ich den dann mit ai. Das wäre doch ein reeler Anteil mit i =?

Du hast jetzt $\begin{eqnarray*} a=\frac{a}{2}i+\frac{b}{2}. \end{eqnarray*}$ Also ist $\begin{eqnarray*} a+\frac{b}{2}+\frac{a}{2}i=0. \end{eqnarray*}$ Und da kannst du jetzt a und b so wie oben bestimmen.

18.01.2014, 17:50

Chrispie

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Zitat:

Original von 10001000Nick1

Zitat:

Original von Chrispie
Wenn -a=0 ist wäre ja a=0 also habe ich ja a+bi=z

Jap, meinte ich auch so Freude

Zitat:

Ich komme immer noch nicht weiter. Mich stört das $\begin{eqnarray*} \frac{a}{2}i \end{eqnarray*}$ . Wie kann ich aus dem RE anteil das i raus ziehen? Muss ich das überhaupt?
Müsste es ausserdem nicht $\begin{eqnarray*} a-\frac{a}{2}i-\frac{b}{2}=0 \end{eqnarray*}$ heißen?

18.01.2014, 17:55

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Chrispie
Müsste es ausserdem nicht $\begin{eqnarray*} a-\frac{a}{2}i-\frac{b}{2}=0 \end{eqnarray*}$ heißen?

Ja, da hast du natürlich Recht. Augenzwinkern

Du weißt doch jetzt, dass $\begin{eqnarray*} \left(a-\frac{b}{2}\right)-\frac{a}{2}i=0=0+0i \end{eqnarray*}$ ist.
Jetzt musst du es wie oben machen. Also: $\begin{eqnarray*} a-\frac{b}{2}=... \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\frac{a}{2}=... \end{eqnarray*}$
Was gehört an die Stelle von ...?

18.01.2014, 18:19

Chrispie

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Du weißt doch jetzt, dass $\begin{eqnarray*} \left(a-\frac{b}{2}\right)-\frac{a}{2}i=0=0+0i \end{eqnarray*}$ ist.
Jetzt musst du es wie oben machen. Also: $\begin{eqnarray*} a-\frac{b}{2}=... \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\frac{a}{2}=... \end{eqnarray*}$
Was gehört an die Stelle von ...?

$\begin{eqnarray*} a-\frac{b}{2}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\frac{a}{2}=0i \end{eqnarray*}$

?

18.01.2014, 18:24

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Chrispie
$\begin{eqnarray*} a-\frac{b}{2}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\frac{a}{2}=0i \end{eqnarray*}$

In der letzten Zeile sollte $\begin{eqnarray*} -\frac{a}{2}=0 \end{eqnarray*}$ stehen (hier macht das zwar eigentlich keinen Unterschied, aber im Allgemeinen ist das falsch, wenn das $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ mit dazuschreibt).

Jetzt kannst du a und b berechnen.

18.01.2014, 18:33

Chrispie

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Kann ich das dann einfach wie bei zwei unbekannten bestimmen?

$\begin{eqnarray*} -a/2=0 a=0 \end{eqnarray*}$

einstzen

$\begin{eqnarray*} 0-b/2=0 b=0 \end{eqnarray*}$

das war dann der ganze spuk? verwirrt

18.01.2014, 18:42

10001000Nick1

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Ja, das war's. $\begin{eqnarray*} z=a+bi=0+0i=0 \end{eqnarray*}$ ist die Lösung.

18.01.2014, 18:52

Chrispie

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Ouh man, ich denke immer viel zu kompliziert böse

Danke für die Hilfe. smile

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