Lösung von DGL y'=y^2 und homogener DLG y'=x+y/x

18.01.2014, 01:14

Herr Mathenoob

Lösung von DGL y'=y^2 und homogener DLG y'=x+y/x

Hallo,
bin mir unsicher bei den Lösungen 2er Dgl.

1. Lösung mit der Methode der Trennung von Variablen:

$\begin{eqnarray*} y'(x)=y^2\Rightarrow g(x)=1, h(y)=y^2 \end{eqnarray*}$

Einzige Nullstelle von h ist $\begin{eqnarray*} y_{1}=0 \end{eqnarray*}$ .

Also ist $\begin{eqnarray*} y(x)\equiv 0 \end{eqnarray*}$ eine Lösung.

$\begin{eqnarray*} h(y)\neq 0: y^2\neq 0\Rightarrow \frac{y'}{y^2}=1<=>\int \! \frac{y'}{y^2} \, dx=\int \! 1 \, dx<br /> <=>\int \! \frac{1}{y^2} \, dy=\int \! \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>-\frac{1}{y}=x+C ,C\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y=-\frac{1}{x+C} \end{eqnarray*}$
Probe: $\begin{eqnarray*} y'=\frac{1}{(x+C)^2}, y^2=\left(-\frac{1}{(x+C)}\right)^2=\frac{1}{(x+C)^2} \end{eqnarray*}$

bestätigt die allgemeine Lösung
$\begin{eqnarray*} y=-\frac{1}{x+C} ,mit C \in \mathbb R und x\in (\mathbb R, x\neq -C) \end{eqnarray*}$

Es gibt diese allgemeine Lösung und eine singuläre $\begin{eqnarray*} y \equiv 0. \end{eqnarray*}$

2. Die homogene Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} y'(x)= \frac{x+y}{x} \end{eqnarray*}$ soll durch substitution gelöst werden.
$\begin{eqnarray*} y' (x)=\frac{x+y}{x}=1+\frac{y}{x}=g(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \textnormal{Substitution:} u=\frac{y}{x}<=>y=x*u <br /> \textnormal{ergibt für} x\neq 0: \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'=u+x \cdot u'=1+\frac{y}{x}=1+u=g(u) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>u'=\frac{1}{x}(g(u)-u). \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \textnormal{Da } g(u)\neq u \textnormal{ gilt:} \int \! \frac {1}{g(u)-u}\, du=\int \! \frac {1}{1+u-u}\, du=\int \! \frac {1}{x}\, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow u=ln (x)+C \textnormal{ ,}C\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \textnormal{Rücksubstitution:} y=x(ln(x)+D \textnormal{ ,}D\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=1+ln(x)+D=1+\frac {x \cdot (ln(x)+D)}{x} \end{eqnarray*}$

Sind die Lösungen richtig? Oder fehlt da noch was?

18.01.2014, 07:55

Kasen75

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Hallo,

bei der 1. würde ich dir zustimmen.

Zitat:

Original von Herr Mathenoob

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow u=ln (x)+C \textnormal{ ,}C\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \textnormal{Rücksubstitution:} y=x(ln(x)+D\textcolor{red}{)} \textnormal{ ,}D\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

(fehlendes Klammerstück ergänzt)

Ich habe im Prinzip das gleiche. Wobei ich die Konstante C stehen gelassen hätte.

Grüße.

19.01.2014, 17:21

Herr Mathenoob

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Hey, danke für die schnelle Antwort.
Grüße

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