Quaderförmiger, oben offener Container (Extremwertaufgabe)

18.01.2014, 12:28

Rivago

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Quaderförmiger, oben offener Container (Extremwertaufgabe)

Wink

Brauch mal wieder eure Hilfe.

Ein quaderförmiger, oben offener Container soll halb so hoch wie breit sein und ein Volumen von 108m³ besitzen.
Welche Maße muss der Container erhalten, damit der Materialverbrauch minimal wird?

Hab leider keinen Ansatz. unglücklich

unglücklich

Erstmal brauch ich ja die Hauptbedingung, also eine Gleichung für die Größe, die min. oder max. werden soll.
Wäre das in meinem Fall die Flächenformel?

18.01.2014, 12:57

Kasen75

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RE: Quaderförmiger, oben offener Container (Extremwertaufgabe)

Zitat:

Original von Rivago

Erstmal brauch ich ja die Hauptbedingung, also eine Gleichung für die Größe, die min. oder max. werden soll.
Wäre das in meinem Fall die Flächenformel?

Hallo,

die Formel für die Außenfläche des Containers ist in der Tat deine Hauptbedingung-nur ohne Abdeckung.

a=Breite des Containers

b=Höhe des Containers

c=Länge bzw. Tiefe des Containers

Wie sieht jetzt die Formel für die Oberfläche aus ?

Grüße.

18.01.2014, 13:01

Rivago

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$\begin{eqnarray*} A_O = 2(ab + ac + bc) \end{eqnarray*}$

18.01.2014, 13:03

Kasen75

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Stimmt nicht ganz. Die obere Abdeckung fehlt doch.

18.01.2014, 13:04

Rivago

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Was denn für eine obere Abdeckung?

18.01.2014, 13:06

Kasen75

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Der Container ist nicht vollständig geschlossen: "Ein quaderförmiger, oben offener Container soll ..."

Somit fehlt ja oben die Abdeckung.

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18.01.2014, 13:08

Rivago

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Also $\begin{eqnarray*} A_O = 2(ab + ac + bc) - ab \end{eqnarray*}$

?

18.01.2014, 13:13

Kasen75

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So wie ich die Seiten definiert habe, muss man ac abziehen.

$\begin{eqnarray*} A_O = 2(ab + ac + bc) - ac \end{eqnarray*}$

Diesen Ausdruck solltest du noch vereinfachen.

Danach:

Welche Gleichung ergibt sich aus dieser Bedingung:".. Container soll halb so hoch wie breit sein.."

18.01.2014, 13:16

Rivago

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Aber wieso denn -ac? unglücklich

unglücklich

Das versteh ich wieder nicht.

Wie soll ich den vereinfachen? Ausmultiplizieren und dann zusammenfassen?

18.01.2014, 13:20

Kasen75

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a*c=Breite*Länge

Dass ist zum einen die Grundfläche (Boden) und zum anderen die Abdeckung.

Zitat:

Ausmultiplizieren und dann zusammenfassen?

Genau.

18.01.2014, 13:22

Rivago

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Breite mal Länge ist laut meinem Tafelwerk aber a*b verwirrt

verwirrt

c ist die Höhe

18.01.2014, 13:26

Kasen75

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Ich hatte es aber anders definiert. Man ist hier frei in der Definition.

18.01.2014, 13:30

Rivago

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Okay, kann ich ab nehmen? Sonst kann ich mich noch schwerer reindenken?

Somit kommt raus

$\begin{eqnarray*} A_O = ab + 2ac + 2bc \end{eqnarray*}$

Dann brauch ich noch die Nebenbedingung..

Hmm verwirrt

verwirrt

18.01.2014, 13:33

Kasen75

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Für die Nebenbedingung musst du nur das Volumen mit 108 gleichsetzen.

Ich würde aber erst einmal das hier machen:

Welche Gleichung ergibt sich aus dieser Bedingung:".. Container soll halb so hoch wie breit sein.."

18.01.2014, 13:35

Rivago

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Zitat:

Original von Kasen75
Ich würde aber erst einmal das hier machen:

Welche Gleichung ergibt sich aus dieser Bedingung:".. Container soll halb so hoch wie breit sein.."

Ist das nicht die Nebenbedingung? verwirrt

verwirrt

Ich versteh diese blöden Extremwertaufgaben nicht unglücklich

unglücklich

18.01.2014, 13:43

Kasen75

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Du hast hier zwei Nebenbedingungen. Die andere NB ist, dass das Volumen 108 Kubikmeter sein soll.

c=Höhe des Containers

a=Breite des Containers

Somit ist c=...

18.01.2014, 13:46

Rivago

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Sorry ich verstehs einfach nicht traurig

traurig

18.01.2014, 13:50

Kasen75

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c=1/2 * a

Jetzt klar ?

18.01.2014, 13:51

Rivago

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Nein, ich versteh hier einfach nicht was Haupt - und Nebenbedingung sein soll. Das die Höhe die Hälfte sein soll ist mir schon klar, aber das bringt mir auch nichts.

18.01.2014, 14:01

Kasen75

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Hauptbedingung: Minimierung von $\begin{eqnarray*} A_O \end{eqnarray*}$

Nebenbedingung 1: Volumen gleich 108 Kubikmeter: a*b*c=108

Nebenbedingung 2: Container halb so hoch wie breit: c=1/2*a.

Jetzt kannst du NB 2 in NB 1 einsetzen. Du setzt also für c gleich 1/2*a ein.

Dann löst du die Nebenbedingung 1 nach b erst einmal auf.

18.01.2014, 14:18

Rivago

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$\begin{eqnarray*} V = a \cdot b \cdot (\frac{1}{2} \cdot a) = 108m^3 \end{eqnarray*}$

18.01.2014, 14:33

Kasen75

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Perfekt.

Freude

Die linke Seite kann man noch zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} 1/2 \cdot a^2 \cdot b=108 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung kann man jetzt nach b auflösen. Damit hätte man dann die Variable b in Abhängigkeit von a ausgedrückt.

Die Variable c haben wir schon in Abhängigkeit von a ausgedrückt: c=1/2*a

Dann kann man jeweils die Ausdrücke für b und c in die Hauptbedingung einsetzen und $\begin{eqnarray*} A_0(=ab + 2ac + 2bc) \end{eqnarray*}$ ist dann nur noch von der Variable a abhängig. Das musst du aber nicht gleich machen.

18.01.2014, 14:53

Rivago

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$\begin{eqnarray*} b = \frac{216}{a^2} \end{eqnarray*}$

NB in HB einsetzen

$\begin{eqnarray*} A_O = a \cdot (\frac{216 m^3}{a^2}) + 2a (\frac{1}{2} \cdot a) + 2 \cdot (\frac{216 m^3}{a^2}) \cdot (\frac{1}{2} \cdot a) \end{eqnarray*}$

So? Und jetzt noch zusammenfassen?

18.01.2014, 15:09

Kasen75

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Sieht alles sehr gut aus.

Du kannst hier erst einmal einiges kürzen bzw. verrechnen.

So ergibt beim letzten Summanden 2*1/2=1.

Dann erkennt man auch, dass der erste Summand und der letzte Summand identisch sind. Somit kann man den ersten Summanden mit 2 multiplizieren und kann dann den letzten Summanden weglassen.

Und man kann noch den Faktor a kürzen (1. und 3. Summand). Im Nenner bleibt dann noch a übrig.

Dann hat man schon gut zusammengefasst.

18.01.2014, 15:15

Rivago

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Puuh, ich versuchs mal..

$\begin{eqnarray*} A_O = \frac{216m^3}{a} + a^2 + \frac{216m^3}{a} \end{eqnarray*}$

Oder?

Jetzt noch

$\begin{eqnarray*} A_O = 2 \cdot (\frac{216m^3}{a}) + a^2 \end{eqnarray*}$

18.01.2014, 15:18

Rivago

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Oder geht auch

$\begin{eqnarray*} A_O = \frac{432m^3}{a} + a^2 \end{eqnarray*}$

?

18.01.2014, 15:22

Kasen75

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Genau.

Freude

Das ergibt $\begin{eqnarray*} A_O = \frac{432m^3}{a} + a^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt nach a ableiten und die Ableitung gleich 0 setzen. Dann nach a auflösen.

Man kann es auch so schreiben: $\begin{eqnarray*} A_O = 432m^3 \cdot a^{-1} + a^2 \end{eqnarray*}$

Je nachdem bei welcher Schreibweise dir die Ableitung leichter fällt.

18.01.2014, 15:28

Rivago

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Ok..

Also ich hab jetzt

$\begin{eqnarray*} 0 = - \frac{432}{a^2} + 2a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{432}{a^2} = 2a \end{eqnarray*}$

a = 6? smile

smile

18.01.2014, 15:33

Rivago

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Glaub ich habs smile

smile

Der Container muss 6m breit und 3m hoch sein, damit der Materialverbrauch minimal wird.

Richtig?

18.01.2014, 15:37

Kasen75

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Richtig.

Da wir schon die Gleichungen $\begin{eqnarray*} b = \frac{216}{a^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=1/2\cdot a \end{eqnarray*}$ haben, kann man jetzt ganz bequem die Werte für b und c ausrechnen.

_________________

Auch richtig. Dann hätte ich mir den Text eben sparen können.

18.01.2014, 15:49

Rivago

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Danke für deine Hilfe. Ohne dich hätte ich es nicht rausbekommen unglücklich

unglücklich

Wink

smile

Wenn du magst kannst du mir nochmal helfen.. Werde jetzt einen neuen Thread aufmachen.

18.01.2014, 15:57

Kasen75

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Zitat:

Original von Rivago
Danke für deine Hilfe. Ohne dich hätte ich es nicht rausbekommen unglücklich

unglücklich

Gerne

smile

Vielleicht. Aber du hast es doch dann sehr gut hinbekommen. Also kein Grund zur Klage, weder von meiner noch von deiner Seite.

Zitat:

Wenn du magst kannst du mir nochmal helfen.. Werde jetzt einen neuen Thread aufmachen.

Mach das. Ich habe im Moment leider keine Zeit.
Das macht aber nichts, da es noch genug andere Helfer gibt, mit denen du den neuen Thread bearbeiten kannst.

Grüße.

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