Fixpunkt einer Funktion mit beschränkter Ableitung |
18.01.2014, 13:47 | Kääsee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Fixpunkt einer Funktion mit beschränkter Ableitung Ich habe Folgendes gegeben: , differenzierbar und , sodass Jetzt soll ich zeigen, dass f einen Fixpunkt hat. Wenn aber f einen Fixpunkt x* hätte, dann würde doch gelten und somit . Das wäre doch aber ein Widerspruch zur Voraussetzung, weil ja A echt kleiner 1 sein soll?! |
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18.01.2014, 13:54 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nimm Dir als Beispiel die Funktionschar mit . Für sie gilt und wegen f(0)=0 ist x=0 ein Fixpunkt. Du machst den Fehler aus der Tatsache zu folgern, dass . Das ist aber überhaupt nicht der Fall. |
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18.01.2014, 14:04 | Kääsee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh, stimmt Leider weiß ich dann nicht, wie ich zeigen kann, dass ein Fixpunkt existiert |
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18.01.2014, 14:14 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Versuch mal die Linearisierung (Taylorreihe ersten grades) mit ins Spiel zu bringen. |
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18.01.2014, 14:31 | Kääsee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Leider habe ich davon noch nie was gehört |
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18.01.2014, 14:37 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist der Banachsche Fixpunktsatz schon bekannt? |
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18.01.2014, 14:43 | Kääsee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, auch nicht. |
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18.01.2014, 14:57 | Kääsee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich muss jetzt leider zur Arbeit, werde also nicht on sein, falls du nochmal antworten solltest. Wenn nicht, ergoogle ich mir halt diesen Fixpunktsatz. Aber vielen Dank trotzdem! |
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18.01.2014, 16:02 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, sagt dir der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung etwas? Falls ja, betrachte mal die Funktion . Du möchtest zeigen, dass diese eine Nullstelle hat. Was ist denn mit der Ableitung von ? Kannst du die irgendwie beschränken ? |
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18.01.2014, 23:22 | Kääsee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hey, leider haben wir auch diesen Satz noch nicht in der Vorlesung durchgenommen. Integralrechnung wird jetzt erst angefangen. Aber zur zweiten Frage würde ich sagen: ? Dann denke ich da ja für alle x. |
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18.01.2014, 23:56 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, letzter Versuch: kennst du den Mittelwertsatz? Wenn nicht bin ich mit meinem Latein am Ende. Bezüglich : Ich dachte eher an eine Abschätzung der Art . |
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18.01.2014, 23:59 | Kääsee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, Mittelwertsatz ist mir bekannt! |
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19.01.2014, 00:07 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na also Wir sind immernoch auf der Suche nach einer Nullstelle von . Wähle dir nun beliebig. Jetzt muss man unterscheiden. Ist oder . Machen wir erstmal den Fall . Wir suchen nun ein mit . Ich gebe mal den Tipp, dass du das in dem bereich rechts von suchen solltest. Wenn du mal ein beliebiges mit nimmst und den Ausdruck betrachtest, was kannst du darüber mit Hilfe des Mittelwertsatzes und obiger Abschätzung für aussagen? |
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19.01.2014, 00:22 | Kääsee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also, wenn ich habe, dass x<y, dann sagt mit der Mittelwertsatz, dass es im Intervall [x,y] ein gibt, sodass oder auf was willst du hinaus? Und dieser Ausdruck ist nun < A-1? edit: d.h.: also ? |
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19.01.2014, 00:28 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist leider etwas zu schwach, um damit weiterzukommen. Du bekommst doch . Kannst du das mal nach umstellen und sehen, ob dir dazu was einfällt? Du darfst dir auch gerne mal ein bisschen mehr Zeit dafür lassen. Überlege mal ein bisschen länger, ob dir was einfällt. |
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19.01.2014, 00:44 | Kääsee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nun gut, ich bekomme Und was ich ja jetzt eigentlich rauskriegen will, ist dass ist, oder? x-y ist ja auf jeden Fall <0. Aber was mache ich mit Ay-Ax? edit: ich gehe erst mal schlafen, vielleicht fällt mir ja heute Nacht etwas ein |
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19.01.2014, 14:08 | Kääsee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich komme echt nicht weiter! Da A<1, ist Ay-Ax auf jeden Fall kleiner als y-x. Und nun? |
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19.01.2014, 19:40 | wastl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Grundidee des Beweises für den Banachschen Fixpunktsatz Sei x0 beliebig. Definiere die Folge xn:=f(x(n-1)) n>0 Zeige <xn> ist Cauchyfolge, also konvergent. Dabei kann helfen |x(n+1)-x(n)|<=A*(x(n)-x(n-1)) => |x(n+k)-x(n)|<=A^k*|x(n)-x(n-1)|<=A^k*|x(1)-x(0)| x(n)-->y <==> f(x(n))->f(y)=lim x(n) (nach Konstruktion) = y (nach Definition) |
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19.01.2014, 19:52 | Kääsee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Diesen Schritt verstehe ich irgendwie nicht so wirklich. Kannst du das etwas näher erläutern? edit: ah, sorry, hab's verstanden! Ok, dankesehr, ich gucke, was ich damit anstellen kann Auf jeden Fall hat mir das schon mal viel geholfen. |
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19.01.2014, 20:01 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich weiß nicht, warum du das so auseinandergepflückt hast.. In kann man doch viel besser ablesen, was man braucht. Du siehst hier, dass wenn du genügend groß machst, g(y) kleiner als 0 wird. Warum und wie genau bitte selbst überlegen. Genauso wie den anderen Fall mit g(x) < 0. |
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19.01.2014, 20:49 | Kääsee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke. |
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