Fixpunkt einer Funktion mit beschränkter Ableitung

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Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunkt einer Funktion mit beschränkter Ableitung
Huhu,
Ich habe Folgendes gegeben:
, differenzierbar und
, sodass

Jetzt soll ich zeigen, dass f einen Fixpunkt hat.

Wenn aber f einen Fixpunkt x* hätte, dann würde doch gelten und somit .
Das wäre doch aber ein Widerspruch zur Voraussetzung, weil ja A echt kleiner 1 sein soll?!

verwirrt
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm Dir als Beispiel die Funktionschar mit .
Für sie gilt und wegen f(0)=0 ist x=0 ein Fixpunkt.

Du machst den Fehler aus der Tatsache zu folgern, dass . Das ist aber überhaupt nicht der Fall.
 
 
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, stimmt geschockt
Leider weiß ich dann nicht, wie ich zeigen kann, dass ein Fixpunkt existiert unglücklich
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Versuch mal die Linearisierung (Taylorreihe ersten grades) mit ins Spiel zu bringen.
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Leider habe ich davon noch nie was gehört traurig
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ist der Banachsche Fixpunktsatz schon bekannt?
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, auch nicht. unglücklich
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss jetzt leider zur Arbeit, werde also nicht on sein, falls du nochmal antworten solltest. Wenn nicht, ergoogle ich mir halt diesen Fixpunktsatz. Aber vielen Dank trotzdem!
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

sagt dir der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung etwas?

Falls ja, betrachte mal die Funktion . Du möchtest zeigen, dass diese eine Nullstelle hat. Was ist denn mit der Ableitung von ? Kannst du die irgendwie beschränken ?
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, leider haben wir auch diesen Satz noch nicht in der Vorlesung durchgenommen.
Integralrechnung wird jetzt erst angefangen.
Aber zur zweiten Frage würde ich sagen:

?

Dann denke ich

da ja für alle x.

verwirrt
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, letzter Versuch: kennst du den Mittelwertsatz? Wenn nicht bin ich mit meinem Latein am Ende.

Bezüglich : Ich dachte eher an eine Abschätzung der Art .
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Mittelwertsatz ist mir bekannt! smile
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Na also Big Laugh

Wir sind immernoch auf der Suche nach einer Nullstelle von .

Wähle dir nun beliebig. Jetzt muss man unterscheiden. Ist oder .

Machen wir erstmal den Fall . Wir suchen nun ein mit .
Ich gebe mal den Tipp, dass du das in dem bereich rechts von suchen solltest. Wenn du mal ein beliebiges mit nimmst und den Ausdruck betrachtest, was kannst du darüber mit Hilfe des Mittelwertsatzes und obiger Abschätzung für aussagen?
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Also, wenn ich habe, dass x<y, dann sagt mit der Mittelwertsatz, dass es im Intervall [x,y] ein gibt, sodass



oder auf was willst du hinaus? Und dieser Ausdruck ist nun < A-1?

edit: d.h.: also

?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
also

Das ist leider etwas zu schwach, um damit weiterzukommen.

Du bekommst doch . Kannst du das mal nach umstellen und sehen, ob dir dazu was einfällt?

Du darfst dir auch gerne mal ein bisschen mehr Zeit dafür lassen. Überlege mal ein bisschen länger, ob dir was einfällt.
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Nun gut, ich bekomme



Und was ich ja jetzt eigentlich rauskriegen will, ist dass

ist, oder?

x-y ist ja auf jeden Fall <0. Aber was mache ich mit Ay-Ax?

edit: ich gehe erst mal schlafen, vielleicht fällt mir ja heute Nacht etwas ein unglücklich
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme echt nicht weiter!
Da A<1, ist Ay-Ax auf jeden Fall kleiner als y-x.
Und nun?
wastl Auf diesen Beitrag antworten »

Grundidee des Beweises für den Banachschen Fixpunktsatz

Sei x0 beliebig.
Definiere die Folge xn:=f(x(n-1)) n>0
Zeige <xn> ist Cauchyfolge, also konvergent.

Dabei kann helfen
|x(n+1)-x(n)|<=A*(x(n)-x(n-1)) => |x(n+k)-x(n)|<=A^k*|x(n)-x(n-1)|<=A^k*|x(1)-x(0)|

x(n)-->y <==> f(x(n))->f(y)=lim x(n) (nach Konstruktion) = y (nach Definition)
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wastl

x(n)-->y <==> f(x(n))->f(y)=lim x(n) (nach Konstruktion) = y (nach Definition)

Diesen Schritt verstehe ich irgendwie nicht so wirklich. Kannst du das etwas näher erläutern?
edit: ah, sorry, hab's verstanden!
smile Ok, dankesehr, ich gucke, was ich damit anstellen kann Augenzwinkern Auf jeden Fall hat mir das schon mal viel geholfen.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, warum du das so auseinandergepflückt hast..

In

kann man doch viel besser ablesen, was man braucht.
Du siehst hier, dass wenn du genügend groß machst, g(y) kleiner als 0 wird. Warum und wie genau bitte selbst überlegen. Genauso wie den anderen Fall mit g(x) < 0.
Kääsee Auf diesen Beitrag antworten »

danke.
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