Ganzrationale Funktion 3. Grades rekonstruieren

18.01.2014, 15:54

Rivago

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Ganzrationale Funktion 3. Grades rekonstruieren

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph im Punkt (1; 0) die x-Achse berührt und die im Punkt ( 3; f(3) ) eine waagerechte Tangente besitzt. Weiterhin schneidet die Parallele zur x-Achse mit der Gleichung y=2 den Graphen von f in seinem Wendepunkt.

Es ist zwar einiges gegeben, aber ich komm trotzdem nicht weiter.

Was ich bisher hab..

Punkt (1; 0)

$\begin{eqnarray*} f (1) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = a + b+ c +d \end{eqnarray*}$

waagerechte Tangente

$\begin{eqnarray*} m = f'(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = f'(3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = 27a + 6b + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f (3) = 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3 = 27a + 9b + 3c +d \end{eqnarray*}$

Ist das bis hierhin richtig? Viel erreicht hab ich ja noch nicht. verwirrt

verwirrt

18.01.2014, 16:00

Stefan03

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Deine letzte Zeile ist falsch

Was bedeutet es denn für die Steigung des Graphen, wenn er die x-Achse BERÜHRT?

Und welche Bedinung muss vorliegen, damit ein Wendepunkt vorliegt?

Das sollte dann reichen...

18.01.2014, 16:04

Rivago

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Das Wort berührt sagt aus, das dort die selbe Steigung ist. Das wäre am Punkt (1;0) ja die Steigung 0, oder?

Wenn die 3. Ableitung ungleich Null ist, dann ist es ein Wendepunkt. Oder wie meinst du das?
Man muss ja die 2. Ableitung noch 0 setzen.

18.01.2014, 16:05

Stefan03

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ja, alles richtig.

bzw. das mit der 3. Abl. ist jetzt für die Rekonstruktion nicht unbedingt notwenidg, aber f''=0 ist wichtig.

18.01.2014, 16:09

Rivago

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Hmm..

Also

$\begin{eqnarray*} 0 = f'(1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = 3a + 2b +c \end{eqnarray*}$

Ich weiß noch nichts mit y=2 anzufangen. Da schneidet sie ja den Wendepunkt. Also hat der Wendepunkt die Koordinaten (0; 2) oder?

18.01.2014, 16:12

Stefan03

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Ähm, wer sagt dir, dass der Wendepunkt auf der y-Achse liegt?

Sei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ die x-Koord. des Wendepunktes. Dann ist WP $\begin{eqnarray*} (x_0|2) \end{eqnarray*}$

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18.01.2014, 16:15

Rivago

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Das dachte ich mir dann auch, nachdem ich abgesendet habe. Der Wendepunkt könnte ja überall sein.

Aber wie krieg ich das nun raus?

18.01.2014, 16:30

Stefan03

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Hi,

sry, ich habe vorher was überlesen...Deine letzte Zeile im ersten Post ist flasch. Das müsste heißen:

$\begin{eqnarray*} f'(3)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(3) \end{eqnarray*}$ weißt du ja nicht...

Hm, bin auch noch am Überlegen, wie es gehen könnte.

Du könntest eben "zwei neue" Variablen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ für die x-Koord. des WP und $\begin{eqnarray*} y_0=f(3) \end{eqnarray*}$ einführen, aber ob es dann besser wird...

18.01.2014, 16:33

Rivago

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Zitat:

Original von Stefan03
Hi,

sry, ich habe vorher was überlesen...Deine letzte Zeile im ersten Post ist flasch. Das müsste heißen:

$\begin{eqnarray*} f'(3)=0 \end{eqnarray*}$

.

Das hab ich doch aber auch stehen verwirrt

verwirrt

18.01.2014, 16:34

Stefan03

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Ich sehs nicht...

Ich seh

Zitat:

Original von Rivago

$\begin{eqnarray*} f (3) = 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3 = 27a + 9b + 3c +d \end{eqnarray*}$

(

18.01.2014, 16:36

Rivago

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Im ersten Post hab ich stehen

waagerechte Tangente

$\begin{eqnarray*} m = f'(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = f'(3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = 27a + 6b + c \end{eqnarray*}$

Das mit $\begin{eqnarray*} f(3) = 3 \end{eqnarray*}$ steht da auch. Da war ich von Anfang an schon skeptisch, ob das richtig sein soll

18.01.2014, 16:37

Stefan03

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Ah stimmt...Tut mir leid, habe ich übersehen...Also $\begin{eqnarray*} f(3)=3 \end{eqnarray*}$ stimmt ziemlich sicher nicht...Weil du es eben nicht weißt smile

smile

18.01.2014, 16:37

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Stefan03
Hm, bin auch noch am Überlegen, wie es gehen könnte.

Du könntest eben "zwei neue" Variablen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ für die x-Koord. des WP und $\begin{eqnarray*} y_0=f(3) \end{eqnarray*}$ einführen, aber ob es dann besser wird...

Das braucht man gar nicht.
Bis jetzt habt ihr ja drei Gleichungen. Damit kann man erstmal drei der vier Unbekannten $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \end{eqnarray*}$ bestimmen (in Abhängigkeit von der vierten Unbekannten). D.h. die Funktion hängt dann nur noch von einer Unbekannten ab. Von dieser bestimmt man dann die Wendestelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ (natürlich ebenfalls abhängig von dieser Unbekannten). Und dann kann man die Unbekannte so bestimmen, dass $\begin{eqnarray*} f(x_0)=2 \end{eqnarray*}$ ist.

Ich denke, so müsste es gehen, oder?

18.01.2014, 16:41

Rivago

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Also diese 3 Gleichungen hab ich jetzt...

$\begin{eqnarray*} 0 = a + b+ c + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 27a + 6b + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 3a + 2b + c \end{eqnarray*}$

18.01.2014, 17:12

Rivago

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Also ich klink mich hier erstmal aus. Hab keine Ideen, wie ich das jetzt lösen soll verwirrt

verwirrt

Mach nun schon seit um 12 Mathe und seh nichts als Zahlen geschockt

geschockt

Versuch morgen wieder mein Glück. Wenn ihr wollt, könnt ihr gerne weitere Lösungsvorschläge posten, damit ich die Aufgabe gelöst bekomme.

Schönen Samstag noch Wink

Wink

19.01.2014, 12:55

Rivago

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Wink

Würde nun gerne hier weiter machen.

Habe ja nun die 3 Gleichungen, mit denen ich allerdings nicht viel anfangen kann. Wie geht man nun vor? verwirrt

verwirrt

19.01.2014, 13:12

10001000Nick1

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Ich mach mal weiter, weil Stefan gerade nicht da ist.

Wie schon gesagt, kannst du jetzt dieses Gleichungssystem lösen. Es gibt allerdings keine eindeutige Lösung, weil man 4 Unbekante, aber nur 3 Gleichungen hat.
Wie würdest du denn lineare Gleichungssysteme lösen?

19.01.2014, 13:17

Rivago

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Also kommt man am Ende auf keine richtige Lösung? verwirrt

verwirrt

Das ist ja blöd.

Hab mir die Aufgabe im Internet gesucht, um zu üben.

Würde es mit Einsetzungsverfahren machen.

19.01.2014, 13:19

10001000Nick1

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Doch, man kommt auf eine "richtige" Lösung. Nur eben noch nicht mit diesem Gleichungssystem (wir haben ja noch die y-Koordinate des Wendepunktes gegeben, aber dazu später).

Dann fang doch mal an mit dem Einsetzungsverfahren.

Edit: Ich glaube, hier würde es mit dem Gauß-Eliminationsverfahren schneller gehen.

19.01.2014, 14:49

Rivago

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Ich lass das bei der Aufgabe erstmal. Versuch ich nachher mal..

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