Fixpunkt |
| 18.01.2014, 16:36 | sn0p | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Fixpunkt ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe: a) zeigen, dass x + ln(x) = 0 eine Lösung hat b) welche der Verfahren (i)-(iii) kann man für eine iterative Näherung nehmen, welches sollte man nehmen: (i) x_k+1 = -ln(x_k) (ii) x_k+1 = exp(-x_k) (iii) x_k+1 = (x_k + exp(-x_k))/2 zu a): das gesuchte x ist ja ein Fixpunkt der Funktion g(x)=-ln(x) (ca x=0.567), nur konnte ich nicht zeigen dass g eine kontraktion ist um den banachschen fixpunktsatz anweden zu können. Wie muss man hier vorgehen? zu b) noch keine ideen |
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| 18.01.2014, 16:54 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, stelle doch etwas um: Für ist äquivalent: und . Versuche vielleicht besser, den Banachschen Fixpunktsatz darauf anzuwenden. Edit: Wenn du den Banachschen Fixpunktsatz übrigens nicht ohnehin für den 2. Teil der Aufgabe bräuchtest, wäre es einfacher, die Existenz einer Lösung mit dem Zwischenwertsatz und dem Verhalten des log für x->0 zu folgern. |
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| 18.01.2014, 17:23 | sn0p | Auf diesen Beitrag antworten » |
x + ln(x) = 0 <=> x=exp(-x) (x>0) => gesuchtes x ist Fixpunkt von g(x)=exp(-x) g'(x) = -exp(-x) => |g'(x)| = exp(-x) = 1/exp(x) < 1 auf zb [0.5 , 1] da exp(x) > 1 für x >0 => g(x) ist kontraktion => nach banachschem fixpunktsatz existiert ein fixpunkt in [0.5, 1] so oder? zu b): dann funktioniert also das verfahren (ii), (i) funktioniert nicht, da laut einem Korollar der vorlesung entweder g(x_i) oder g^-1(x_i) konvergiert, und (i) und (ii) sind zueinander die umkehrabbildungen. nur wie kommt man auf (iii), bzw wie erkennt man ob man das nehmen kann oder nicht? |
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| 18.01.2014, 17:28 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du hast noch nicht alle Voraussetzungen für den Banachschen Fixpunktsatz nachgewiesen. Da fehlt noch was(was insbesondere z.B. auf dem Intervall [1/2, 1] nicht gegeben ist). |
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| 18.01.2014, 17:37 | sn0p | Auf diesen Beitrag antworten » |
hab mir auch grad schon gedacht dass da noch was nicht stimmen kann.. ich muss das richtige Intervall wählen damit I=[a,b] abgeschlossen ist und gilt (und die ableitung muss dort im betrag < 1 sein)oder? stehe grad irgendwie auf dem schlauch und sehe es nicht 
edit: [0.5, 0.6] müsste gehen oder? sehe grad dass diese funktion in der programmieraufgabe (nullstelle von exp(-x)-x) mit diesem intervall angegeben ist, nur wie sieht man dass es passt? |
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| 18.01.2014, 17:41 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, das ist richtig. Einfach mal ein bisschen systematisch probieren. 1 als Randpunkt ist doch schonmal nicht schlecht, weil e^-x < 1 für alle x>0. Wie klein muss dein anderer Randpunkt jetzt mindestens sein? Edit: [0.5, 0.6] kannst du zwar auch nehmen, aber bei zum Beispiel ist es einfacher, diese Eigenschaft nachzuweisen. Wie das geht, solltest du jetzt selbst hinkriegen. |
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| 18.01.2014, 18:02 | sn0p | Auf diesen Beitrag antworten » |
die unterste grenze müsste mindestens exp(-1)=1/e sein, und da e<3.. ist ist 1/3 kleiner und somit die passende untergrenze wie kommt man nun auf das verfahren (iii) bzw woher weiß man ob man es nehmen kann? |
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| 18.01.2014, 18:05 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Schaue halt, ob die mit diesem assoziierten Verfahren assoziierte Funktion an der selben Stelle einen Fixpunkt hat, wie e^{-x} und prüfe nach, ob die Voraussetzungen des Satzes erfüllt sind. |
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| 18.01.2014, 18:50 | sn0p | Auf diesen Beitrag antworten » |
also fixpunkt wäre der selbe, da ( x+exp(-x) )/2 = x <=> x + exp(-x) = 2x <=> exp(-x)=x |g'(x)| = 1/2 *(1-exp(-x)) < 1 da exp(-x) < 1 auf [0,1] g(0) = 1/2 , g(1)= (e+1) / 2e < 1 , da e > 1, und offensichtlich >0 also ist der banachsche fixpunktsatz hier anwendbar und das verfahren konvergiert gegen den fixpunkt bei (iii) ist ja die abschätzung mit g'(1) = (e-1)/2e (ca 0.31) möglich, bei (ii) jedoch mit g'(1/3) = 1/exp(1/3) (ca 0,71) und man kann zeigen dass gilt (e-1)/2e < 1/exp(1/3), da <=> (e-1)*exp(1/3) < 2e e-1 < 2 da e<3, und exp(1/3) < e wegen monotonie von exp => man sollte verfahren (iii) nehmen müsste so passen oder? wenn ja, danke für die ausführliche hilfe! 
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