Grenzwerte und Konvergenz berechnen?

18.01.2014, 18:11	ProfA12345	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwerte und Konvergenz berechnen? Meine Frage: Guten Abend, mein Problem besteht darin, dass ich nicht verstehe, wie man bei Folgen, wie z.B.: $\begin{eqnarray} a_{n} = \frac{\left(n+1\right)\left(n^{2}-1 \right) }{\left(2n+1\right)\left(3n^{2}+1 \right) } \end{eqnarray}$ Grenzwert, sowie Konvergenz berechnen kann. Besonders bei der Begründung habe ich Probleme, weshalb ich hoffe, dass jemand mir eine gute Erklärung "geben" könnte. Ich danke schon mal im Voraus und wünsche noch einen schönen Abend, ProfA12345 Meine Ideen: Für "einfachere" Folgen (z.B.: an = 3 - 1/n habe ich bereits einige Rechenwege gefunden, bloß für eine so "große", wie die oben genannte, benötige ich eure Hilfe.
18.01.2014, 18:15	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei solchen Folgen, bei denen im Zähler und Nenner Polynome stehen, sollte man in Zähler und Nenner die größte vorkommende Potenz ausklammern. Also: Erstmal ausmultiplizieren und dann die größte Potenz ausklammern.
18.01.2014, 20:07	ProfA12345	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke ersteinmal, für deine Antwort. Ich bin mir allerdings nicht sicher, ob ich verstehe, was du damit meinst. Einfaches wegkürzen, wie man das von Brüchen gewohnt ist? Oder sehe ich dies falsch? Und worum handelt es sich bei Polynomen? Davon habe ich leider nichts in meinen Aufzeichnungen. Des weiteren stellt sich nun die Frage, wie ich, am Besten, weiter vorgehen solle. Vielen Dank, ProfA12345
18.01.2014, 21:38	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann dir ja mal ein Beispiel zeigen: $\begin{eqnarray} b_n=\frac{4n^2-6n+2}{2n^2-6} \end{eqnarray}$ Der höchste vorkommende Exponent ist 2, deswegen klammern wir in Zähler und Nenner $\begin{eqnarray} n^2 \end{eqnarray}$ aus: $\begin{eqnarray} b_n=\frac{n^2\left(4-\frac{6}{n}+\frac{2}{n^2}\right)}{n^2\left(2-\frac{6}{n^2}\right)}=\frac{4-\frac{6}{n}+\frac{2}{n^2}}{2-\frac{6}{n^2}} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ konvergiert jetzt der Zähler gegen 4, der Nenner gegen 2. Also konvergiert $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} \frac{4}{2}=2 \end{eqnarray}$ . Weißt du jetzt, wie du den Grenzwert von $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ bestimmen kannst?
19.01.2014, 09:39	ProfA12345	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Manchmal staune ich einfach nur über meine Idiotie. Dann wäre der höchste Exponent bei mir 3 woraus: $\begin{eqnarray} a_{n} = \frac{n^{3}\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3} \right) }{n^3\left(6+\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^3} \right) } \end{eqnarray}$ resultiert. Und darus folgt dann, dass $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ gegen 1/6 konvergiert. Stimmt dies so? Danke
19.01.2014, 12:43	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, stimmt so. Vielleicht mal noch ein Hinweis (weil das viele falsch machen): Man klammert immer die höchste Potenz aus, die im gesamten Bruch vorkommt. Also nicht im Zähler die höchste Zählerpotenz und im Nenner die höchste Nennerpotenz. Z.B. $\begin{eqnarray} c_n=\frac{n^2+1}{-4n^3+3n-6}=\frac{n^3\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}\right)}{n^3\left(-4+\frac{3}{n^2}-\frac{6}{n^3}\right)}=\frac{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}}{-4+\frac{3}{n^2}-\frac{6}{n^3}}\to 0. \end{eqnarray}$
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19.01.2014, 15:57	ProfA12345	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, nochmals und noch einen schönen Tag!

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