Kettenregel

18.01.2014, 20:37

Jator08

Kettenregel

Hallo,
ich brauche bitte Hilfe zu den Kettenregeln.

Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} y=\sqrt[3]{(x^{4}+2) } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} (x^{4} +2)^{\frac{1}{3} } \end{eqnarray*}$ --> Also ich weiß, dass man bei einer normalen Wuzel 1/2 nimmt. Aber wie ist das bei der 3. Wurzel ?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} *(x^{4} +2)*4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1,33*(x^{4} +2)^{\frac{1}{3} } \end{eqnarray*}$

18.01.2014, 23:07

Dopap

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RE: Kettenregel

Zitat:

Original von Jator08
$\begin{eqnarray*} y=\sqrt[3]{(x^{4}+2) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(x)=\tfrac 13 (x^{4}+2))^{-\tfrac 23}\cdot (\text{innere Ableitung}) \end{eqnarray*}$

19.01.2014, 10:52

Jator08

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Wieso $\begin{eqnarray*} -\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

19.01.2014, 19:06

Dopap

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Potenzregel:

$\begin{eqnarray*} (x^n)'=nx^{n-1} \end{eqnarray*}$ hier mit $\begin{eqnarray*} n=\tfrac 13 \end{eqnarray*}$

20.01.2014, 17:01

Jator08

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Ich versteh es noch immer nicht ^^

Okay, also wir haben das Beispiel heute in der Schule gemacht. Ich kann aber ein paar Schritte nicht nachvollziehen.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[3]{(x^{4}+2) } = (x^{4} +2)^{\frac{1}{3} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{3} *(x^{4}+2) ^{-\frac{2}{3} } *4x^{3} \end{eqnarray*}$ ----> Hier versteht ich das $\begin{eqnarray*} ^{-\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4x^{3} \end{eqnarray*}$ nicht. Es müsste ja einfach nur "4x" sein und nicht noch ^3 oder?

$\begin{eqnarray*} =\frac{4}{3} x^{3} *\frac{1}{\sqrt[3]({x^{4} +2})} \end{eqnarray*}$ ----> Hier versteh ich den Nenner nicht. Oder muss das einfach die Ausgangsgleichung sein?

$\begin{eqnarray*} =\frac{4x^{3} }{3*\sqrt[3]({x^{4}+2 })² } \end{eqnarray*}$

20.01.2014, 17:29

Dopap

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RE: Kettenregel
$\begin{eqnarray*} y(x)=\sqrt[3]{(x^{4}+2) } = (x^4+2)^{\tfrac13} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(x)=\tfrac 13 (x^{4}+2)^{\tfrac 13-1}\cdot (\text{innere Ableitung}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(x)=\tfrac 13 (x^{4}+2)^{\tfrac 13-\tfrac 33}\cdot (\text{innere Ableitung}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(x)=\tfrac 13 (x^{4}+2)^{\tfrac {1-3}{3}}\cdot (\text{innere Ableitung}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(x)=\tfrac 13 (x^{4}+2)^{-\tfrac 23}\cdot (\text{innere Ableitung}) \end{eqnarray*}$
--------------------------------------

edit: hatte dein edit noch nicht gelesen:

Eine Bitte: ein nachträgliches Edit auch als solches kennzeichnen.

20.01.2014, 17:48

Jator08

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Beim zweiten: Warum -1 ?

20.01.2014, 17:57

Dopap

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Zitat:

Original von Dopap
Potenzregel:

$\begin{eqnarray*} (x^n)'=nx^{n{\color{red}-1}} \end{eqnarray*}$ hier mit $\begin{eqnarray*} n=\tfrac 13 \end{eqnarray*}$

liest du die posts auch ?

20.01.2014, 18:10

Jator08

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Okay, dann hab ich das verstanden.
Und kannst du mir noch die anderen Fragen erklären (ein paar Posts weiter oben)

20.01.2014, 18:30

Dopap

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ja, aber gerne.

1.) die ( innere Ableitung ) von $\begin{eqnarray*} x^4+2 \, \text {ist doch} \, 4x^3 \end{eqnarray*}$

2.) den Potenzterm $\begin{eqnarray*} (x^4+2)^{-\tfrac 23} \end{eqnarray*}$ kann man nach den Potenzregeln zu $\begin{eqnarray*} \frac {1}{(x^4+2)^{\tfrac 23}} \end{eqnarray*}$ umformen, und diesen wiederum zu

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{ \sqrt[3]{(x^4+2)^2}} = \frac {1}{ (\sqrt[3]{x^4+2})^2 } \end{eqnarray*}$

20.01.2014, 18:34

Jator08

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1. Warum soll das $\begin{eqnarray*} 4x³ \end{eqnarray*}$ sein ?

2. Kann man jetzt sagen, dass es immer die Anfangsgleichung ist?

20.01.2014, 18:47

Dopap

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1.) $\begin{eqnarray*} (x^4+2)'= (x^4)' +(2)' = 4x^3+0 \end{eqnarray*}$ nach Summen und Potenzregel.

2.) nein.

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