Ungleichung Mittels der Cauchy Schwarz lösen

18.01.2014, 23:18

Martus

Ungleichung Mittels der Cauchy Schwarz lösen

Hallo,

ich muss folgendes beweisen: |A x| ist kleiner gleich ||A|| |x|. Es gilt: die Matrix A Element aus; R^(n×n) und der Vektor x Element aus; R^(n×n).

Dazu darf ich die Cauchy-Schwarz Ungleichung: a^t · x ist kleiner gleich |a| * |x|. (Wobei das a^t für einen transponierten Vektor steht).

Ich bin so vorgegangen, dass ich die zu beweisende Aussage zunächst einmal in allgemeiner Form aufgeschrieben habe. Also so:

[die runden Klammern um der Matrix und den Vektor sollen natürlich eigentlich große sein.)

|(a11 ... a1n ) (x1) | || (a11 ... a1n )|| |(x1)|
|( : ... : ) * ( : ) | || ( : ... : ) || * |( : )|
|(an1 ... ann ) (xn) | || (an1 ... ann ) || |(xn)|

dann habe ich das was dort steht zunächst einmal einfach ausgerechnet, also links vom Ungleichheitszeichen die Matrix mit dem Vektor multipliziert und und dann von dem erhaltenden Vektor den Betrag ganz normal nach der Vorschrift sqrt(x^2+y^2 ...).

Auf der rechten seite habe ich die Norm der Matrix errchnet und diese dann mit dem betrag des Vektors multipliziert.

Nach einigen Umformungen und Benutzung der Cauchy-Schwarz Ungleichung erhalt ich allerdings:

sqrt(a11^2 + ... + a1n^2) + ... + sqrt(an1^2 + ... + ann^2) * sqrt(x1^2 + ... + xn^2) soll kleiner gleich sein als (kleiner gleich sollte eigentlich gelten müssen) sqrt(a11^2 + ... + a1n^2 + ... +an1^2 + ... + ann^2) * sqrt(x1^2 + ... + xn^2).

Dies kann jedoch nicht sein. :-?

19.01.2014, 12:22

Leopold

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Verwende LATEX. Sonst kann man deine Formeln nicht vernünftig lesen.

Ich nehme an, daß du mit $\begin{eqnarray*} \| A \| \end{eqnarray*}$ die euklidische Norm der Matrix meinst, also die Wurzel aus der Summe der Quadrate sämtlicher Matrixelemente. Dann schreiben wir dafür doch gleich $\begin{eqnarray*} |A| \end{eqnarray*}$ und haben

$\begin{eqnarray*} \left| Ax \right| \leq |A| \cdot |x| \end{eqnarray*}$

zu zeigen. Es empfiehlt sich, die Matrix in Zeilenform zu schreiben, also $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} {a_1}^{\top} \\ {a_2}^{\top} \\ \vdots \\ {a_n}^{\top} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Der Vektor $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ sammelt gerade die Elemente der $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten Zeile von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein: $\begin{eqnarray*} a_i = \begin{pmatrix} a_{i1} \\ a_{i2} \\ \vdots \\ a_{in} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Jetzt kann man $\begin{eqnarray*} Ax = \begin{pmatrix} {a_1}^{\top} x \\ {a_2}^{\top} x \\ \vdots \\ {a_n}^{\top} x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schreiben. Die einzelnen Matrixprodukte im Spaltenvektor sind Skalare und entsprechen dem Standardskalarprodukt der Vektoren. Und die Rechnung geht los:

$\begin{eqnarray*} \text{(*)} \ \ \left| Ax \right| = \left( \sum_{i=1}^n \left( {a_i}^{\top} x \right)^2 \right)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung besagt (bei dir fehlen links Betragsstriche):

$\begin{eqnarray*} \left| {a_i}^{\top} x \right| \leq |a_i| \cdot |x| \end{eqnarray*}$

Das ist eine Ungleichung zwischen nichtnegativen reellen Zahlen. Man darf sie daher quadrieren:

$\begin{eqnarray*} \left| {a_i}^{\top} x \right|^2 \leq |a_i|^2 \cdot |x|^2 \end{eqnarray*}$

Und weil $\begin{eqnarray*} t = {a_i}^{\top} x \end{eqnarray*}$ eine reelle Zahl ist und für solche $\begin{eqnarray*} |t|^2 = t^2 \end{eqnarray*}$ gilt, kann man auch

$\begin{eqnarray*} \left( {a_i}^{\top} x \right)^2 \leq |a_i|^2 \cdot |x|^2 \end{eqnarray*}$

schreiben. Ich denke, jetzt siehst du, wie es bei $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ weitergeht. Beachte, daß die Wurzelfunktion streng monoton wächst.

19.01.2014, 16:47

Martus

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Hi,

danke für die schnelle Antwort. Den Gedanken hatte ich auch gehabt. Hab es nur ein einer etwas anderen Form aufgeschrieben.

Doch es hat leider noch nicht das Problem gelöst. :O

Also ich habe folgendes:

$\begin{eqnarray*} sqrt(a11 ... a1n) * (x1...xn)^T)^2 + sqrt(an1 ... ann) * (x1...xn)^T)^2 = sqrt(|(a11...a1n)^T|^2 * |(x1...xn)^T|^2) + sqrt(|(an1...ann)^T|^2 * |(x1...xn)^T|^2) = |(a11...a1n)^T| * |(x1...xn)^T| + |(an1...ann)^T| * |(x1...xn)^T| = (sqrt((a11)^2 + ... + (a1n)^2) + sqrt((an1)^2 + ... + ((ann)^2) * sqrt((x1)^2 + (xn^2)) dies ist jedoch größer und nicht kleiner, als sqrt( (a11)^2 + ... + (a1n)^2 + ... + (an1)^2 + ... + (ann)^2 ) * sqrt((x1)^2 + (xn^2)) was ja |A| * |x| ist. Schonmal Danke im Voraus <img src="images2/smilies/balloon.gif" border="0" alt="smile" title="smile" /> \end{eqnarray*}$

24.05.2015, 18:02

:)) mäp :))

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ist der beweis auch übertragbar auf einen komplexen VR ?? smile

26.05.2015, 10:17

RavenOnJ

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Ich hab jetzt nur mal das [/latex] ans Ende der Formeln gestellt und den backslah vor sqrt, sowie beispielhaft das a_{11} ganz am Anfang. Den Rest kannst du selber machen.

Trotzdem verstehe ich immer noch nur Bahnhof. Was machst du da eigentlich?

Zitat:

Original von Martus
Hi,

danke für die schnelle Antwort. Den Gedanken hatte ich auch gehabt. Hab es nur ein einer etwas anderen Form aufgeschrieben.

Doch es hat leider noch nicht das Problem gelöst. :O

Also ich habe folgendes:

$\begin{eqnarray*} \sqrt(a_{11} ... a1n) * (x1...xn)^T)^2 + \sqrt(an1 ... ann) * (x1...xn)^T)^2 = \sqrt(|(a11...a1n)^T|^2 * |(x1...xn)^T|^2) + \sqrt(|(an1...ann)^T|^2 * |(x1...xn)^T|^2) = |(a11...a1n)^T| * |(x1...xn)^T| + |(an1...ann)^T| * |(x1...xn)^T| = (\sqrt((a11)^2 + ... + (a1n)^2) + \sqrt((an1)^2 + ... + ((ann)^2) * \sqrt((x1)^2 + (xn^2)) \end{eqnarray*}$

dies ist jedoch größer und nicht kleiner, als

$\begin{eqnarray*} \sqrt( (a11)^2 + ... + (a1n)^2 + ... + (an1)^2 + ... + (ann)^2 ) * \sqrt((x1)^2 + (xn^2)) \end{eqnarray*}$ was ja |A| * |x| ist.

Schonmal Danke im Voraus smile

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