Orthogonalprojektion (Funktionalanalysis)

19.01.2014, 12:26	Jolly Roger	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalprojektion (Funktionalanalysis) Meine Frage: Sein $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ Hilbertraum und $\begin{eqnarray} U,V \end{eqnarray}$ abgeschlossene Unterräume von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} P_U,P_V \end{eqnarray}$ die Orthogonalprojektion auf $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . Zu Zeigen ist folgende Äquivalenz: $\begin{eqnarray} U \subset V \Leftrightarrow P_U=P_UP_V=P_VP_U \end{eqnarray}$ Wie ist überhaupt $\begin{eqnarray} P_UP_V \end{eqnarray}$ zu verstehen wenn $\begin{eqnarray} P_U \end{eqnarray}$ definiert ist durch $\begin{eqnarray} \Vert x-P_Ux \Vert = \inf_{u\in U} \Vert x-u \Vert \end{eqnarray}$ Meine Ideen: " $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ " Sei $\begin{eqnarray} U \subset V \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} P_U=P_V\vert_U \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} P_VP_U=P_UP_U=P_U \end{eqnarray}$ aber warum auch $\begin{eqnarray} P_UP_V=P_VP_U \end{eqnarray}$ ?? Oder sieht man das mit folgendem (falls folgendes überhaupt stimmt??) $\begin{eqnarray} \Vert v - P_Uv \Vert = \inf_{u\in U} \Vert v-u \Vert = \inf_{v\in V} \Vert v-u \Vert = \Vert u-P_Vu \Vert \end{eqnarray}$

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