Summenzeichen

19.01.2014, 14:36

cheaaa

Summenzeichen

Meine Frage:
Folgende Aufgaben bereiten mir leider noch Kopfzerbrechen:

1. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (3+k) \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=m}^n (k) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weißt, dass die Lösung $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+7)}{2} \end{eqnarray*}$ lauten muss, nur leider finde ich keinen Lösungsweg. Über Hilfe würde ich mich freuen!

Zu 2.: Lösung müsste $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)-m(m-1)}{2} \end{eqnarray*}$ lauten, aber auch hier finde ich den Weg nicht.

19.01.2014, 14:39

Donquixote

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Das schreit ja förmlich nach vollständiger Induktion

19.01.2014, 14:39

10001000Nick1

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1) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (3+k)=\sum\limits_{k=1}^n 3+\sum\limits_{k=1}^n k \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=m}^n k=\sum\limits_{k=1}^n k-\sum\limits_{k=1}^{m-1} k \end{eqnarray*}$

Kommst du jetzt weiter?

@DonQuixote: Ich habe das so verstanden, dass der Fragesteller wissen will, wie man überhaupt auf dieses Ergebnis kommt; er will es also nicht einfach nur beweisen. Daher wäre vollständige Induktion nicht angebracht.

19.01.2014, 14:42

Donquixote

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Mir fällt gerade ein, falls du den kleinen Gauß verwenden darfst, sprich $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ ,
dann sind die Aufgaben schnell lösbar.

19.01.2014, 14:46

Donquixote

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RE: Summenzeichen
@10001000Nick1

Zitat:

Original von cheaaa
Ich weißt, dass die Lösung $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+7)}{2} \end{eqnarray*}$ lauten muss, nur leider finde ich keinen Lösungsweg.

Daher verstehe ich deinen Einwand nicht. Ich habe ihn/ihr einen Lösungsweg vorgeschlagen.

19.01.2014, 14:48

10001000Nick1

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Ich denke, die Aufgabe lautet ungefähr so: "Berechne $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (3+k) \end{eqnarray*}$ ."

Und wenn man jetzt nur diese Aufgabenstellung vor sich hat, dann hilft keine vollständige Induktion.

Naja, der Fragesteller hat ja jetzt mehrere Lösungsvorschläge, da kann er sich ja dann einen aussuchen.

19.01.2014, 15:10

Donquixote

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Ich muss das nicht verstehen, oder? Wie berechnest du dann zB $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k \end{eqnarray*}$ ?

19.01.2014, 15:36

10001000Nick1

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OK, $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k =\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ müsste man dann mit Induktion zeigen (oder man darf es ohne Beweis verwenden).

Aber stell dir vor, du sitzt in einer Klausur und hast die Aufgabe: "Berechne $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (3+k) \end{eqnarray*}$ ."

Weil du in einer Klausur sitzt, weißt du natürlich nicht, dass $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+7)}{2} \end{eqnarray*}$ die Lösung ist.
Wie würdest du da vorgehen? Du kannst ja nicht einfach $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (3+k)=\frac{n(n+7)}{2} \end{eqnarray*}$ per vollständiger Induktion beweisen, denn auf die rechte Seite der Gleichung musst du ja auch erstmal kommen.

19.01.2014, 15:54

Donquixote

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Achso, okay, aber deswegen mein Nachtrag Augenzwinkern

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