Differenzierbarkeit einer Funktion

19.01.2014, 15:00	Mathemus	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit einer Funktion Meine Frage: Hallo Leute. Ich habe folgende Aufgabenstellung: Zeigen sie dass g auf den reellen Zahlen differenzierbar ist. $\begin{eqnarray} g(x)=x^{2}sin(1/x) \end{eqnarray}$ wobei g(0) als 0 definiert ist. Meine Ideen:* Ich schaue mir zunächst die Differenzierbarkeit an der Stelle 0 an. Laut Definition ist die Funktion an dieser Stelle differenzierbar falls $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{g(x)-g(0)}{x-0} \end{eqnarray}$ existiert. Als Ergebnis bekomme ich an dieser Stelle 0 raus, und habe damit die Existenz gezeigt und somit auch Differenzierbarkeit an der Stelle 0. Aber wie kann ich jetzt die Differenzierbarkeit auf den reellen Zahlen allgemein beweisen? Wenn ich zum Beispiel die h-Methode verwenden möchte kriege ich das h nicht so ausgeklammert um den Bruch zu kürzen. Ich steh da ein wenig auf dem Schlauch und würde mich freuen wenn mir da jemand helfen kann. Gruß Mathemus
19.01.2014, 15:05	Donquixote	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst für x ungleich null die bekannten Ableitungsregeln verwenden.
19.01.2014, 15:11	Mathemus	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber Ich muss doch erst die Differenzierbarkeit zeigen bevor ich ableiten darf oder?
19.01.2014, 15:22	Donquixote	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt doch so schöne Sätze wie das Produkt zweier diffbarer Funktionen ist wieder diffbar usw.
19.01.2014, 16:09	Mathemus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok. Ich glaube dann hab ich es. Sin(x) ist diffbar x^2 ist diffbar und (1/x) ist diffbar, und somit müsste dann auch $\begin{eqnarray} x^{2}sin(1/x) \end{eqnarray*}$ diffbar sein. Ist die Begründung so korrekt?
19.01.2014, 16:56	Donquixote	Auf diesen Beitrag antworten »
Jop, das reicht aus.
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19.01.2014, 17:17	Mathemus	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar. vielen Dank
19.01.2014, 17:48	wastl	Auf diesen Beitrag antworten »
1/x ist nicht diffbar in 0. Also Differenzenquotient (x^2sin(1/x)-0)/(x-0)=xsin(1/x) --->0 für x -->0, da \|sin(1/x)\|<=1 und x-->0
19.01.2014, 17:50	wastl	Auf diesen Beitrag antworten »
für x<>0 verwendet man die Differenzierbarkeitssätze
27.01.2014, 16:17	Mathemus	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwar spät aber vielen Dank für die Antworten

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