Stabilität/Gekoppeltes System 2. Ordnung

19.01.2014, 21:27

Lithiesque

Stabilität/Gekoppeltes System 2. Ordnung

Hallo,

folgende Aufgabe:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} A=A^T\in\mathbb{R}^{n\times{n}} \end{eqnarray*}$ positiv definit. Zeige, dass dann $\begin{eqnarray*} x''+Ax=0 \end{eqnarray*}$ stabil ist.

Mein Vorgehen war folgendes: Überführt man das System 2. Ordnung in ein System 1. Ordnung, so erhält man mit $\begin{eqnarray*} U=\begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -A & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = U\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Wegen $\begin{eqnarray*} U^2=\begin{pmatrix} -A & 0 \\ 0 & -A \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und da $\begin{eqnarray*} -A \end{eqnarray*}$ negativ definit ist (also alle Eigenwerte negativ) liegen alle Eigenwerte von U auf der imaginären Achse. Das garantiert aber noch keine Stabilität; dazu müssten die Eigenwerte alle halbeinfach sein. Wie zeige ich das?

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