Markow-Tschebyscheff Ungleichung

19.01.2014, 22:44	Lomex	Auf diesen Beitrag antworten »
Markow-Tschebyscheff Ungleichung Meine Frage: Hallo Leute, hier eine Aufgabe zu Markow-Tschebyscheff-Ungleichung, mit der ich so gar nicht klar komme. Meine Ideen: bin gerade bei Aufgabenteil (i) (Zu (ii) bin ich noch nicht gekommen) das hier ist ja die Formel, die ich für Aufgabenteil a) brauche $\begin{eqnarray} P(\left\{ \omega\|X (\omega)- E[X]\|\geq \epsilon\right\} )\leq \frac{Var (x)}{\epsilon^2} \end{eqnarray}$ Aber was muss ich jetzt wo einsetzen? Für $\begin{eqnarray} X(\omega) \end{eqnarray}$ hätte ich X/n genommen, da ich ja schauen will, wie viele von den Wählern (n) die besagte Partei wählen (X). Sozusagen eine prozentuale Anzahl der Wähler Für E[X] hätte ich die 0,3 eingesetzt, da das ja unser Erwartungswert ist. $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ ist doch 0,01, weil das ja unsere maximale Abweichung sein soll. daher wird aus unserer Formel aus dem $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ (und umgekehrt aus dem kleiner gleich ein größer gleich), oder? Aber an dieser Stelle weiß ich einfach nicht weiter. Wie hoch ist mein Var(x)? Var(x) ist ja gleich $\begin{eqnarray} \frac{\sigma^2} {n} \end{eqnarray}$ . Kann ich dann für mein Var(x) in die Formel $\begin{eqnarray} \frac{1} {n} \end{eqnarray}$ schreiben? So sieht dann meine Ungleichung am Ende aus: $\begin{eqnarray} P(\|\frac{X} {n}- 0,3\|\leq 0,01)\geq \frac{1}{n\epsilon^2} \end{eqnarray*}$ Ich weiß einfach nicht, wie ich dann das ganze ausrechnen soll. Muss es ja nach n auflösen. Das ist mir selber jetzt total peinlich, aber der Prof hat in der Vorlesung nicht erklärt, wie man das ausrechnet und ich bin wohl gerade zu dumm dafür Wäre froh, wenn mir jemand helfen könnte.
20.01.2014, 18:33	Lomex	Auf diesen Beitrag antworten »
keiner eine Idee? Ich bin nu weiterhin auf folgendes gekommen, weiß aber nicht, ob das richtig ist. Vllt. kann mir das jemand bestätigen oder zumindest sagen, ob ich auf dem falschen oder richtigen Weg bin. Zuerst habe ich meine Formel noch einmal verbessert. Die Tschebyscheff Formel für die Binomialverteilung beträgt ja: $\begin{eqnarray} P (\frac{X}{n}-p\geq \epsilon)\leq \frac{1}{4\epsilon^2n} \end{eqnarray}$ auf meine Aufgabe angewendet wäre das: $\begin{eqnarray} P (\frac{X}{n}-0,3\leq 0,01)\geq 1 - \frac{1}{40,01^2n} \end{eqnarray}$ (eigentlich müsste da kleiner als 0,01 stehen. Aber bei Latex gab es das irgendwie nicht) wenn ich jetzt alles hinter dem größer/gleich nach n auflösen würde, käme n=500000 raus, damit folgendes erfüllt ist: $\begin{eqnarray} P (\frac{X}{n}-p\leq 0,01)\geq 1 - 0.05 \end{eqnarray}$ (wegen dem 95% Niveau) kann mir das jemand bestätigen? Kann mir jemand auch bei Teil (ii) helfen, wie das mit dem Grenzwertsatz funktioniert? Ich würde mich über jede Hilfe freuen!!

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