Automorphismengruppe

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Der Lustige Peter Auf diesen Beitrag antworten »
Automorphismengruppe
Liebes Matheboard,

Könnte sich vielleicht jemand erbarmen und mir bei einer einfachen Aufgabe zur Automorphismengruppe helfen? Ich versuch da gerade durchzusteigen und es ist alles nicht so einfach.

Also die Aufgabe:
Zitat:
Bestimme für folgende Gruppen jeweils die Automorphismengruppe:
a)
b)
c)


Meine Überlegungen dazu waren die folgenden:
a) Die Menge besteht aus dem Repräsentantensystem . Dabei ist das neutrale Element. Jeder Automorphismus bildet also auf sich selbst ab. Es bleiben drei Repräsentanten, die auf verschiedene Möglichkeiten aufeinander abgebildet werden können. Untersucht man die Abbildungen genauer stellt man fest, dass die Automorphismengruppe isomorph zu ist.

b) Bei müsste das jetzt ganz analog funktionieren. Die Automorphismengruppe ist also isomoph zu
Ich hoffe, soweit sind meine Überlegungen richtig.

c) Bei war ich mir jetzt nicht so ganz sicher. Ich habe die Menge mal folgendermaßen hingeschrieben: . Erneut bleibt das neutrale Element fest. es gibt also wieder Möglichkeiten. Als ich sie etwas ausgeschrieben habe, habe ich gemerkt, dass auch diese Automorphismengruppe isomorph zu sein muss. Ist das richtig? Ich hatte irgendwie erwartet, da eine andere Gruppe anzutreffen als bei

Ich bitte um Rückmeldungen und Kommentare. Vielen Dank!

Gruß Peter
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Untersucht man die Abbildungen genauer stellt man fest, dass die Automorphismengruppe isomorph zu ist.

diese Untersuchung ist falsch.
Es ist .
Man kann dabei sehr gut verwenden, dass die Gruppe zyklisch ist.

Automorphismen sind insbesondere Gruppenhomomorphismen (ich gehe davon aus, dass wir hier von Gruppen sprechen), was du anscheinend ignorierst.
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Automorphismengruppe
hallo peter,
hier muss ich dir in einigen punkten widersrechen.
Es ist wichtig zu wissen, dass bei einem automorphismus die ordnung der einzelnen elemente erhalten bleiben muss. Du hast schon richtig erkannt,
dass die 0 auf sich selbst abgebildet wird. Aber ansonsten kann man für a)
nicht alle elemente aus S3 benutzen, z.B, wäre

kein automorphismus.
gruss ollie3
Der Lustige Peter Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Automorphismengruppe
Hallo, Captain Kirk, hallo Ollie3,

Vielen Dank für eure schnellen Antworten. Ich versuche es also nochmal:
a) Da Elemente durch eine Automorphismus nur auf Elemente der gleichen Ordnung abgebildet werden können, gibt es für nur zwei Automorphismen. Diese sind die Identität und der Automorphismus, der und vertauscht. und müssen immer auf sich selbst abgebildet werden. Die Automorphismengruppe ist folglich isomorph zu
b) Hier gilt das gleiche. und müssen stets auf sich selbst abgebildet werden. und können vertauscht werden und und . Das heißt, die Automorphismengruppe hat vier Elemente: Die Identität, den Automorphismus, der und vertauscht, den Automorphismus, der und vertauscht und die Verknüpfung der Automorphismen. Die Automorphismengruppe ist folglich isomorph zu .
c) In sind tatsächlich alle Elemente der Ordnung 2 und können aufeinander abgebildet werden. Meine ursprüngliche Vermutung, dass die Automorphismengruppe isomorph zu ist, war also korrekt.

Stimmt das so? Ich bin noch etwas verwirrt, weil mein Ergebnis in b) der Aussage von Captain Kirk widerspricht, denn die einzigen Einheiten in sind doch und , oder?

Gruß
Peter
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Da Elemente durch eine Automorphismus nur auf Elemente der gleichen Ordnung abgebildet werden können,

Stellst du auch jeweils wirklich sicher, dass das diese Permuatationen auch Homomorphismen sind?

Zitat:
der und vertauscht, den Automorphismus, der und vertauscht und

Wieso sind das zwei verschiedene? (sind sie nicht)

Du gehst imho an die Aufgabe von der völligen falschen Richtung an.
Die nimmst Permutationen und schränkst diese dann ein.

Der geschicktere Ansatz ist Erzeuger der Gruppe zu suchen und festzustellen worauf diese abgebildet werden können. Ein Homomorphismus ist eindeutig bestimmt durch die Bilder der Erzeuger.
Der Lustige Peter Auf diesen Beitrag antworten »

Lieber Captain Kirk,

Ich glaube, ich sehe jetzt, was Du meinst! Wenn also von x erzeugt wird, dann kann x auf alle Elemente von auf die anderen Elemente abgebildet werden, die erzeugen. Das sind die Elemente, die teilerfremd zu sind.

Ist das richtig?

Gruß
Peter
 
 
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist richtig.
Der Lustige Peter Auf diesen Beitrag antworten »

Guten. morgen, Captain Kirk, guten Morgen, Ollie3,

Vielen Dank euch beiden! Ich glaube, jetzt habe ich es verstanden!

Gruß
Peter
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