Aussagen zur Konvergenz, Monotonie und Beschränktheit

20.01.2014, 15:14

Mina08

Aussagen zur Konvergenz, Monotonie und Beschränktheit

Meine Frage:
Hey,

ich muss die Aussagena auf ihre Richtigkeit überprüfen.

1. Jede monoton fallende Folge ist nach oben beschränkt.
2. Es gibt keine arithmetische Folge die konvergiert.
3. Es gibt Folgen die gegen 1 und -1 konvergieren.
4.Sei (an) =< (bn) für alle n Element N und ist (an) divergent, so ist auch (bn) divergent
5. Sei (an) =< (bn) für alle n Element N und ist (an) konvergent, so ist auch (bn) konvergent

Ich muss wissen, ob die Aussagen richtig oder falsch sind und brauche jeweils eine Begründung und bei falschen Aussagen ein Gegenbeispiel

Meine Ideen:
Ich denke mir dabei folgendes...

1. die Aussage ist falsch, da meine Folge Richtung unendlich läuft und somit keine obere Grenze existiert, sondern nur eine untere Schranke oder?
2. die Aussage ist richtig, da bei arithmetischen Folgen eine Distanz d existiert und immer wieder was dazu kommt und somit kann sie nicht konvergent sein, da für die Konvergenz die Beschränktheit gelten muss.
3. Die Aussage ist falsch, da eine Folge keine zwei Grenzwerte haben kann, sondern zwei Häufungswerte und die Folge somit divergiert
4. die Aussage ist richtig, da wenn nur eine Teilfolge einer Folge divergiert, so divergiert die gesamt Folge, oder?
5. da habe ich kein Lösungsansatz :-(

Ich bedanke mich schonmal im Voraus... Hoffe, auf Beispiele und Gegenbeispiele mit Erklärung, weil ich diese Aussagen nie richtig beantworte.

20.01.2014, 15:23

10001000Nick1

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RE: Aussagen zur Konvergenz, Monotonie und Beschränktheit

Zitat:

Original von Mina08
1. die Aussage ist falsch, da meine Folge Richtung unendlich läuft und somit keine obere Grenze existiert, sondern nur eine untere Schranke oder?

Wie soll denn eine monoton fallende Folge gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gehen?

Zitat:

Original von Mina08
2. die Aussage ist richtig, da bei arithmetischen Folgen eine Distanz d existiert und immer wieder was dazu kommt und somit kann sie nicht konvergent sein, da für die Konvergenz die Beschränktheit gelten muss.

Und was ist, wenn die Differenz zweier Folgenglieder immer 0 ist?

Zitat:

Original von Mina08
3. Die Aussage ist falsch, da eine Folge keine zwei Grenzwerte haben kann, sondern zwei Häufungswerte und die Folge somit divergiert

Richtig. Falls ein Grenzwert existiert, ist dieser eindeutig.

Zitat:

Original von Mina08
4. die Aussage ist richtig, da wenn nur eine Teilfolge einer Folge divergiert, so divergiert die gesamt Folge, oder?

Aus $\begin{eqnarray*} a_n\leq b_n\forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ folgt doch nicht, dass $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Teilfolge von $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ ist.
Betrachte z.B. $\begin{eqnarray*} a_n=-n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n=0. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Mina08
5. da habe ich kein Lösungsansatz :-(

Bei 5. kannst du einfach ein Gegenbeispiel finden.

20.01.2014, 15:45

Mina08

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1. hmmm, aber monoton fallende Folgen sind ja trotzdem nach unten beschränkt und nicht nach oben ?

2. Ja stimmt, die konstante Folge ist doch eine arithmetische Folge, die konvergiert, somit ist die Aussage falsche, da ich als Bsp. an= 5 angeben kann, oder.

4. also ist nach deinem Bsp. an= -n divergent und bn=0 konvergent und es ist somit ein Gegenbeispiel?

5. Kann ich für an= 1/n und bn= n nehmen? da an konvergent ist und bn divergent ist

20.01.2014, 15:52

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Mina08
1. hmmm, aber monoton fallende Folgen sind ja trotzdem nach unten beschränkt und nicht nach oben ?

Dann nenn mir doch mal eine monoton fallende Folge, die nicht nach oben beschränkt ist.

Zitat:

Original von Mina08
2. Ja stimmt, die konstante Folge ist doch eine arithmetische Folge, die konvergiert, somit ist die Aussage falsche, da ich als Bsp. an= 5 angeben kann, oder.

Ja.

Zitat:

Original von Mina08
4. also ist nach deinem Bsp. an= -n divergent und bn=0 konvergent und es ist somit ein Gegenbeispiel?

Ja.

Zitat:

Original von Mina08
5. Kann ich für an= 1/n und bn= n nehmen? da an konvergent ist und bn divergent ist

Auch das stimmt. smile

20.01.2014, 15:58

Mina08

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ohh, ich erkenne meinen Fehler. Jede monoton fallende folge ist nach oben beschränkt wie die Folge an= 5+1/n . Ist dann die gesamte Aussage richtig oder kann man sie negieren?

20.01.2014, 16:00

10001000Nick1

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Ja, die erste Aussage stimmt. Was willst du denn da negieren?