Reihenwert in Abhängigkeit von x

20.01.2014, 20:42

Mina08

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Reihenwert in Abhängigkeit von x

Meine Frage:
Hey,

ICh muss den Reihenwert der Reihe in Abhängigkeit von x Element R bestimmen und ich muss angeben, für welchen Wert von x der Reiehnwert gültig ist...
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k (\sqrt{x} )^(3k) \end{eqnarray*}$ (3k ist die hochzahl)

Meine Ideen:
dadurch, dass ich (-1) habe würde ich eine fallunterscheidung machen, aber ich komme auf unendlich und - unendlich ...???

20.01.2014, 21:00

Mulder

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RE: Reihenwert in Abhängigkeit von x

Zitat:

Original von Mina08
dadurch, dass ich (-1) habe würde ich eine fallunterscheidung machen, aber ich komme auf unendlich und - unendlich ...???

Wie meinen? verwirrt

verwirrt

Es liegt eine geometrische Reihe vor. Fallunterscheidungen brauchst du nicht.

PS: Exponenten mit geschweiften Klammern versehen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k (\sqrt{x})^{3k} \end{eqnarray*}$

20.01.2014, 21:03

Mina08

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hmmm... wie gehe ich dann vor, weil ich auch keinen anderen Ansatz habe traurig

traurig

20.01.2014, 21:06

Mulder

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Du wendest an, was du über geometrische Reihen gelernt hast.

Es bedarf vorher nur ein eine kleine Umformung. Die erforderlichen Potenzgesetze dafür kennst du bereits aus der Schule. Schau dir an, wie eine geometrische Reihe aussieht, welchen Wert sie annimmt, etc.

20.01.2014, 21:19

Mina08

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Eine geometrische Reihe nimmt die Form $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty q^n =\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ an, dh ich kann meine Reihe doch auf $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n * (\frac{1}{\sqrt{x} ^{-3}})^k \end{eqnarray*}$ bringen, oder?

20.01.2014, 21:29

Mulder

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Achte auf den Startindex. Bei deiner Reihe in der Aufgabe ist der Startindex 1 (wenn du dich nicht verschrieben hast), bei der von dir angegebenen Lösungsformel ist er jedoch 0. Kein Beinbruch, aber etwas, was man natürlich beachten muss, wenn man am exakten Reihenwert interessiert ist. Und auch nicht n und k durcheinander schmeißen. Statt n steht in der Reihe in der Aufgabe ein k, aber das ist ja völlig egal, welchen Buchstaben man da nun nimmt.

Statt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{x} \, ^{-3}} \end{eqnarray*}$ kann man auch einfacher schreiben: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \, ^3 \end{eqnarray*}$

Und immer noch hast du das Produkt da stehen, das du beseitigen musst.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k (\sqrt{x})^{3k} = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k (\sqrt{x} \, ^{3})^k =\sum_{k=1}^{\infty} (-\sqrt{x} \, ^3)^k \end{eqnarray*}$

Und dann hast du dein q, das du in die Lösungsformel einsetzen kannst. Aber wie gesagt: Beachte den Startindex!

Und dann überleg dir, für welche x das so auch gültig ist.

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20.01.2014, 21:43

Mina08

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Ahh ok, ich habe gedacht, dass mein q immer die Form (1/q)^n annehmen muss, aber ich glaube, dass es nur wichtig ist, dass mein q kleiner als 1 sein muss?

So wie die Aufgabe ganz am Anfang steht stimmts auch. Ich habe unten nur versehentlich was durcheinander gebracht, d.h. mein Stratindex ist auch k=1.

Wenn ich q in die Lösungsformel einsetzte, dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+\sqrt{x} ^3} \end{eqnarray*}$ , aber dadurch, dss ich mein Startwert beachten muss habe ich ja quasi eine Ergänzung von 1, da ich in k die Null einsetzt und erhalte dafür die 1. Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (-\sqrt{x} ^3)^k + (-\sqrt{x} ^3)^0 = \sum\limits_{k=1}^\infty (-\sqrt{x} ^3)^k + 1 \end{eqnarray*}$ ... stimmt das soweit?

20.01.2014, 21:47

Mulder

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Zitat:

Original von Mina08
Ahh ok, ich habe gedacht, dass mein q immer die Form (1/q)^n annehmen muss, aber ich glaube, dass es nur wichtig ist, dass mein q kleiner als 1 sein muss?

Betragsmäßig kleiner 1, damit die Reihe konvergent ist, ja.

Zitat:

Original von Mina08
Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (-\sqrt{x} ^3)^k + (-\sqrt{x} ^3)^0 = \sum\limits_{k=1}^\infty (-\sqrt{x} ^3)^k + 1 \end{eqnarray*}$ ... stimmt das soweit?

Das ist eine eher nichtssagende Gleichung (wenn auch keine falsche).

Versuch mal, zu einem richtigen Endresultat zu kommen. Das ist bisher noch nicht geschehen.

20.01.2014, 21:55

Mina08

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Ich hätte gesagt, dass das mein Reihenwert ist: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+(\sqrt{x}^3 } +1 \end{eqnarray*}$ . Ich bin überfragtt, hatte noch nie so eine Aufgabe mit zwei unbekannten

20.01.2014, 22:06

Mulder

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Wie, "Unbekannte"? x ist einfach irgendeine Zahl. Und k der Laufindex. Das ist nicht der Grund.

Sieh mal, wir wissen

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} (-\sqrt{x} \, ^3)^k = \frac{1}{1+\sqrt{x} \, ^3} \end{eqnarray*}$

Jetzt haben wir aber stattdessen

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} (-\sqrt{x} \, ^3)^k \end{eqnarray*}$

Das ist fast die gleiche Reihe, außer dass der Summand, den wir für k=0 erhalten, bei der Reihe in unserer Aufgabe wegfällt. Denn wir fangen ja erst bei k=1 an. Den Summanden müssen wir also abziehen. Also:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} (-\sqrt{x} \, ^3)^k = \left ( \sum_{k=0}^{\infty} (-\sqrt{x} \, ^3)^k \right ) - (-\sqrt{x} \, ^3)^0 = \frac{1}{1+\sqrt{x} \, ^3} -1 \end{eqnarray*}$

20.01.2014, 22:15

Mina08

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Das ist jetzt der Reihenwert... aber warum hast du für x auch 0 eingesetzt, wenn doch k=0 ist? nur damit ich auch alle Schritte verstehe.

In der Aufgabe wird ja noch gesagt, dass ich einen Wert für x Element R angeben muss, damit der reihenwert gültig ist.... kann ich sagen, dass ich für x nur positive Zahlen angeben kann, weil sonst meine Wurzel ungültig ist?

20.01.2014, 22:17

Mulder

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Zitat:

Original von Mina08
Das ist jetzt der Reihenwert... aber warum hast du für x auch 0 eingesetzt, wenn doch k=0 ist? nur damit ich auch alle Schritte verstehe.

Das war ein Tippfehler, pardon (ist editiert). Für x wird natürlich nicht 0 eingesetzt, sondern nur für k.

Zitat:

Original von Mina08
In der Aufgabe wird ja noch gesagt, dass ich einen Wert für x Element R angeben muss, damit der reihenwert gültig ist.... kann ich sagen, dass ich für x nur positive Zahlen angeben kann, weil sonst meine Wurzel ungültig ist?

Ja, negative x gehen natürlich nicht.

Für welche $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist das nun also insgesamt gültig, was wir gemacht haben?

20.01.2014, 22:18

Mina08

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für die positzven reellen Zahlen

20.01.2014, 22:19

Mulder

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Naja, bestimmt nicht für alle!

Was hattest du denn oben nochmal über q festgehalten?

20.01.2014, 22:26

Mina08

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ahh, dass muss ich jetzt an dieser Stelle auch beachten? q ist kleiner gleich 1, aber egal was für eine positive reelle Zahl ich in $\begin{eqnarray*} - \sqrt{x} ^3 \end{eqnarray*}$ einsetze, ich erhalte immer eine Zahl die kleiner als 1 ist...

20.01.2014, 22:27

Mulder

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Ich wiederhole:

Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von Mina08
Ahh ok, ich habe gedacht, dass mein q immer die Form (1/q)^n annehmen muss, aber ich glaube, dass es nur wichtig ist, dass mein q kleiner als 1 sein muss?

Betragsmäßig kleiner 1, damit die Reihe konvergent ist, ja.

20.01.2014, 22:32

Mina08

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Betragsmäßig.... das ist die Rätselslösung! Dann ja eigentlich nur x=1

20.01.2014, 22:38

Mulder

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x=1 stimmt nicht.

Und wieso sollte x=0 nicht gehen? Oder x=1/2 ? Oder x=1/3 ? Oder x=1/5 ? Und so weiter und so fort ...

Und du darfst auch ruhig mal ein bisschen drüber nachdenken. Stört mich den ganzen Thread schon ein wenig, dass da immer schon nach ein paar Minuten eine (oft falsche) Rückmeldung kommt. Nimm dir doch ruhig Zeit, das hier ist ein Forum, die Posts stehen auch morgen und übermorgen noch hier. Die Aufgaben sind doch dazu da, dass man sich mit dem Stoff auseinandersetzt.

20.01.2014, 22:45

Mina08

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dann ja eigentlich von L={0<=x<1 I x Element R}

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