gerade/ungerade Permutation

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Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »
gerade/ungerade Permutation
Hallo alle zusammen Wink

Ich bin gerade dabei die Normalteiler der zu bestimmen.
Da die , sind alle Untergruppen mit 12 Elementen Normalteiler, da Index 2.

Mit Hilfe des Scriptes findet man so die , also eine alternierende Gruppe, in der alle geraden Permutationen aus enthalten sind, womit

Und hier ist mein Problem:


Hier suche ich mir alle gerade Permutationen, sprich einer geraden Anzahl an Inversionen:

Meine Idee:
womit ich aber schon meine 12 Elemente überschreite. Es stimmt also etwas nicht. verwirrt

Wenn ich nun etwas Google benutze, finde ich dass (12), (13), ... , (34) ungerade Permutationen sind, obwohl es doch keine Inversion gibt. Ähnlich sieht es bei (1234) aus. Die kleine Zahl steht immer vor der Größeren.
Im Gegensatz dazu ist (142) eine gerade Permutation, obwohl eine Inversion von 4 und 2 vorliegt. Zumindest habe ich das so gedacht.

Was verstehe ich also falsch? Ich hoffe ihr könnt mir Helfen und mir das erklären smile
Louis1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Was meinst du mit Inversionen? Ich gehe mal von "Fehlstände" aus.

Definition siehe z.B. hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Vorzeichen_...n%29#Definition

Zudem benutzen wir noch den fact, dass ein Gruppenhomomorphismus (1) wird.

Es ist offensichtlich, dass eine Nachbarvertauschung genau einen Fehlstand hat. (2)

Nun ist es leicht zu sehen, dass jede Transposition Produkt einer ungeraden Anzahl von Nachbartranspositionen ist. (3)

Da Gruppenhomomorphismus folgt .

Damit folgt für einen beliebigen Zykel der Länge :

(4)

Mit der Eigenschaft "Gruppenhomomorphismus" kannst du dir dann Vorzeichen beliebiger Produkte von Zykeln ausrechnen.

Alles was nummeriert wurde, ist zu zeigen, aber einfache Übungsaufgabe (meist Einzeiler).
(1) solltet ihr eigentlich auch in der VL gemacht haben.


lg
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Louis,

Erstmal vielen Dank für deine Hilfe smile

Zitat:
Zitat
Was meinst du mit Inversionen? Ich gehe mal von "Fehlstände" aus.


Genau das meine ich.

Allerdings kann ich dir leider nicht wirklich folgen verwirrt

Was ich jetzt lediglich vermute ist, dass ich jedesmal das Signum berechnen soll (ist mir bekannt wie das funktioniert) für die Elemente in . Scheint mir bei 23 Elementen allerdings etwas viel zu sein bzw relativ lang. Geht das nicht schneller? Ich vermute du möchtest mir das in deinem Post sagen, nur wirklich verstehe ich das nicht.

Das zweite Problem, das ich habe ist: Ich soll noch die zugehörige Faktorgruppe bestimmen.
Die wäre in dem Fall dann Was bedeutet das? Welche Elemente stehen drin?

Die Definition ist:
, wobei N ein Normalteiler von G ist. Welche verwende ich?
Louis1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Ich wollte dir nur erklären woher dein Denkfehler kam. Einige der "Elemente", die du bei A_4 reingeschrieben hattest, haben nämlich nach meiner Argumentation oben negatives Vorzeichen.

Dass Normalteiler mit Index 2 ist, sieht man übrigens direkt ein, denn . Mit dem Homomorphiesatz ist dann auch direkt die Faktorgruppe klar.
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok, danke sehr. Wink Freude

Mir kam das ja selbst alles etwas spanisch vor, als ich nach "meinem" Kriterium diezusammen stellen wollte.

Wenn ich das Signum berechne, habe ich alle gewollten Elemente drin.
Louis1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ist dir auch klar geworden, dass ist Normalteiler von mit Faktorgruppe schon aus der Definition folgt? Das obige war nur ein "Exkurs", den du wie gesagt zur Lösung der Aufgabe nicht brauchst.

Es ist eine einfache Übungsaufgabe zu zeigen

"Sei , dann ist Normalteiler von genau dann wenn es eine Gruppe und einen Gruppenhomomorphismus mit gibt. Falls zusätzlich surjektiv ist, so ist ."
 
 
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zitat
Es ist eine einfache Übungsaufgabe zu zeigen...


Boa für mich ist das mal gar nicht einfach unglücklich

Zitat:
Zitat
Aber ist dir auch klar geworden, dass ist Normalteiler von mit Faktorgruppe schon aus der Definition folgt?


Ja das ist mir klar, das Normalteiler von ist. Ich wollte mir eben nur aus der S_4 die Elemente raussuchen, bei denen ich glaubte sie würden in der stehen. Ich habe den Link übrugen hier nochmal raus gesucht. Unter "Inversionen und Inversionszahl gerade und ungerade Permutationen" steht wie ich es gemacht habe.

Zurück zu den Faktorgruppen und deiner Aufgabe:
Also das mit den Faktorgruppen verstehe ich auch noch nicht so ganz.

Bsp: , hier stehen die alle Elemente drin mit den Resten 0 und 1 oder?
. Wie kann ich das in diesem Fall gebrauchen?

Mein Verständnis von (Gruppen)Homomorphismus:
Ich verstehe das so, dass 2 Gruppen "irgendwie" ähnlich sind aber nicht gleich. Sprich sie haben die gleiche Anzahl an Elementen und die Verknüpfungen sind auch gleich definiert in den Gruppen. Aber hier endet auch schon für mich die Vorstellung von einem Homomorphismus und somit scheint für mich die von die gestellte Aufgabe erstmal unlösbar.

Zum Kern:
Im Kern sind alle Elemente von G, die in G' auf das neutrale Element abgebildet werden, oder?!
Das heißt also, wenn der Normalteiler auf das Inverse Element abgebildet wird, dann liegt er im Kern.
Louis1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Ein Homomorphismus von Gruppen ist eine Abbildung zwischen Gruppen, die mit der Gruppenstruktur verträglich ist,

d.h. für alle .

Die gleiche Anzahl an Elementen müssen damit noch lange nicht haben. In der Vorlesung solltet ihr eigentlich gemacht haben, was ein Gruppenhomomorphismus ist? Arbeite das am besten schnell nach, das ist eine der grundlegendsten Notationen! Auch Eigenschaften von Gruppenhomomorphismen, zum Beispiel, aber bei weitem nicht nur, dass und Gruppen sind, sind absolut grundlegend! Ich kann mir kaum vorstellen, dass man definiert was ein Normalteiler ist, ohne solche wirklich wichtigen Definitionen/Aussageb vorher einzuführen.

Nun gibt es den Homomorphiesatz (bzw. es gibt mehrere davon), der bzw. die sind auch allesamt grundlegend. Wenn du vorhast, auch nach dem 2. Semester noch reine Mathematik zu machen, wirst du nicht drumherum können, diese zu können (und man sollte sie eigentlich in den ersten Wochen jeder Algebravorlesung lernen). Die Version, die ich hier benutzen will, besagt

surjektiver Gruppenhomorphismus, dann ist

Nun zurück zu unserem Fall: es ist auf natürliche Weise (in diesem Fall bietet sich die multiplikative Schreibweise an) und ein Gruppenhomomorphismus. Surjektivität ist klar. Wie du richtig bemerkt hast, ist genau als der Kern dieser Abbildung.

Nun zur einfachen Übungsaufgabe:

Sei , sei , dann , also gilt schon .

lg
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zitat
Wenn du vorhast, auch nach dem 2. Semester noch reine Mathematik zu machen,


Das studiere ich leider eben nicht aber das kannst du nicht wissen. Das Modul gehört bei uns auch zum LA GYM Studiengang, was ich studiere.

Zitat:
Zitat
Arbeite das am besten schnell nach, das ist eine der grundlegendsten Notationen!


Alles klar, werde ich tun Freude

Ähm ja wie sieht denn dann aber meine Faktorgruppe aus?
Welche Elemente stehen denn dann darin Außer der ? Heißt es, dass ich die restlichen Elemente aus G durchprobieren muss mit ? Um dann zu schauen, was wieder in
Zitat:
A_4
liegt?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
habe das hier mitverfolgt und kann dir deine fragen auch beantworten:
Wir haben doch schon gesagt, die faktorgruppe S4/A4 ist isomorph zu Z/2Z={0,1}, wobei
alle geraden permutationen von S4 der 0 zugeordnet werden, alle ungeraden der 1.
gruss ollie3
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zitat
hallo, habe das hier mitverfolgt und kann dir deine fragen auch beantworten: Wir haben doch schon gesagt, die faktorgruppe S4/A4 ist isomorph zu Z/2Z={0,1}, wobei alle geraden permutationen von S4 der 0 zugeordnet werden, alle ungeraden der 1.
gruss ollie3


Ok, muss das alles mal sacken lassen und dann von Vorne anfangen.
Vielen Dank für eure Geduld smile Freude
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