Stetigkeitsbeweis x^2, Schritt unklar

21.01.2014, 11:01

Mathelover

Stetigkeitsbeweis x^2, Schritt unklar

Hallo Freunde, ich verstehe die Abschätzung von x zu (3/2)*x0 nicht.
Und warum wählen wir jetzt unser delta aus dem Minimum {3/2x0, 2e/5x0}
2e/5x0 ist mir klar, aber wie kommt man auf 3/2x0.

Ich hoffe ihr könnt mir diese Frage beantworten.

Vielen Dank im Voraus.
Freude

21.01.2014, 11:27

tigerbine

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RE: Stetigkeitsbeweis x^2, Schritt unklar
Ohne Gewähr:

Ist 1.5 x0 nur gewählt worden, damit es sich am Ende schön rechnen läßt? Ziel ist doch eh die Betrachtung $\begin{eqnarray*} x \to x_0 \end{eqnarray*}$ , oder?

21.01.2014, 12:34

Mathelover

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RE: Stetigkeitsbeweis x^2, Schritt unklar
Genau tigerbine,
im Buch wird auch vermerkt, dass es sich durch diese Wahl, besser/schöner rechnen lässt. Aber mich interessiert eben die Idee, was man da genau versucht zu erreichen. Ich denke, dass es mir durch deine Bemerkung x -> x0 klarer geworden ist.
Also versuchen wir doch, dass unser delta nur noch von x0 abhängig wird (weil: punktweise stetigkeit und nicht gleichmäßige stetigkeit), also müssen wir x eliminieren, nicht wahr?

Jetzt meine Frage tigerbine, wie eliminiere ich denn mein x sinnvoll? Okay, durch abschätzen, aber wie? An was orientiere ich mich da? Ich weiss ja nicht in welcher Beziehung x und x0 sind.

Ich hoffe du hast mein Problem verstanden.

Ich danke dir für deine Hilfe Freude

21.01.2014, 12:39

tigerbine

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RE: Stetigkeitsbeweis x^2, Schritt unklar
Der Beweis wird ws über $\begin{eqnarray*} \epsilon \delta \end{eqnarray*}$ Definition der Stetigkeit geführt. Und daher hat man sich das ws schö passend gemacht.

http://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit#...ller_Funktionen

Anscheinend hat ihr esp und delta genau andersherum wie im Wiki Link. Liege ich aber mit dem Kriterium richtig, ich sehe ja nur einen Auschnitt des Beweises.

21.01.2014, 12:43

Mathelover

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RE: Stetigkeitsbeweis x^2, Schritt unklar
Ja, das stimmt was du sagst. Es wird ein eps delta beweis durchgeführt.
Ich verstehe aber immernoch nicht was ich unter "delta passend gewählt" verstehen soll. An was muss ich festhalten? Ich habe in der Hinsicht kein Zusammenhang.

21.01.2014, 13:17

tigerbine

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RE: Stetigkeitsbeweis x^2, Schritt unklar
Es wäre besser, du hättest das abgetippt ... oder den ganzen Beweis gezeigt.

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0)| = |x^2-x_0^2| = |(x-x_0)(x+x_0)| = |x-x_0| \cdot |x+x_0| \end{eqnarray*}$

Soweit ist das für die Gleichung allgemeingültig. Nun müssen esp und Delta in die Sache rein.

Wir schätzen daher ab. Es wir schätzen nun ab.

$\begin{eqnarray*} |x-x_0| < \delta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x+x_0| < \frac{3}{2}x_0 \end{eqnarray*}$

Und die 3/2 ergeben sich ws daraus, dass man den Beweis fertig gemacht hat und gesehen hat, so geht es schön auf.

Wir müssen eine Beziehung zwischen esp und delta basteln, so dass die Bedingung aus Wiki erfüllt ist.

Kannst du mal den ganzen Beweis einstellen, sofern es dir jetzt noch nicht klar ist?

21.01.2014, 15:35

Mathelover

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RE: Stetigkeitsbeweis x^2, Schritt unklar
Hi tigerbine,

leider ist das der komplette Beweis.
Aber hier ist eine ähnliche Aufgabe, kompletter Beweis, bei dem mir die Wahl des delta auch nicht verständlich ist.

Vielleicht kannst du es mir anhand dieser Aufgabe zeigen.

21.01.2014, 16:13

tigerbine

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RE: Stetigkeitsbeweis x^2, Schritt unklar
Das was ich die ganze Zeit versuche zu sagen, steht iim letzen eingescannten Satz. Man schreibt es andersherum auf.

Hier ist nun aber die Stelle, die auf Stetigkeit untersucht wird (x0) konkret auf x0=1 gesetzt worden. verwirrt

Das wundert mich nun. Siehe Wiki: eps-delta Kriterium.

Also die Idee ist ja die. Ich gebe dir ein $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ vor und du musst zeigen, dass du für alle x mit $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0)| < \epsilon \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ findest, mit $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta \end{eqnarray*}$ . Daraus kann man vielleicht erahnen, dass $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ abhängen wird. Daher dort die komischen Formeln.

Wir starten im Grunde mit $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0)| < \epsilon \end{eqnarray*}$ . Nun wollen wir das Delta auf die linke Seite bekommen, um eine Abhängigkeit zu haben. Wir lösen in die Funktionsgleichung auf.

$\begin{eqnarray*} |x^2-x_0^2| \end{eqnarray*}$

Nächstes Ziel ist es die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta \end{eqnarray*}$ ins Spiel zu bringen. Hier 3te binomische Formel.

$\begin{eqnarray*} |(x-x_0)(x+x_0)| = |x-x_0||x+x_0| < \delta |x+x_0| \end{eqnarray*}$

Also können wir nun das Delta unterbringen. Nun ist es nicht verboten, die Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konkret zu machen. Das x stört irgendwie. Warum nun genau 1.5x0 geommen wurde... Sei also die Umgebung so gewählt, dass auch gilt

$\begin{eqnarray*} |x+x_0| < 2.5 x_0 \end{eqnarray*}$

Dann ergibt sich

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0)| < \delta \cdot \frac{5}{2} x_0 \end{eqnarray*}$

So, nun muss das noch kleiner als das von mir Vorgegebene Epsilon sein. Forderung an dein Delta also

$\begin{eqnarray*} \delta \cdot \frac{5}{2} x_0 < \epsilon \end{eqnarray*}$

Anders gesagt

$\begin{eqnarray*} \delta < \frac{2\epsilon}{5 x_0} \end{eqnarray*}$

So, nun tun wir so als wäre das jedem von Anfang an klar gewesen. Und schreiben im Beweis:

Die Funktion ist stetig in x0, denn zu $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ wähle gemäß unseren Annahmen ein entsprechend kleines Delta mit $\begin{eqnarray*} \delta = \min\{\frac{3}{2}x_0, \frac{2\epsilon}{5 x_0} \} \end{eqnarray*}$

dann gilt ... also stetig in x0.

Ist es nun klarer geworden? verwirrt

21.01.2014, 16:51

Mathelover

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RE: Stetigkeitsbeweis x^2, Schritt unklar

Zitat:

Original von tigerbine

Also können wir nun das Delta unterbringen. Nun ist es nicht verboten, die Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konkret zu machen. Das x stört irgendwie. Warum nun genau 1.5x0 geommen wurde... Sei also die Umgebung so gewählt, dass auch gilt

$\begin{eqnarray*} |x+x_0| < 2.5 x_0 \end{eqnarray*}$
(

Danke für deine Antwort tigerbine, aber ich weiss immernoch nicht wie man auf die 1.5x0 kommt. Meine Frage ist eigentlich nur, warum diese Ungleichung gilt (Anhang).

Warum nicht 1x0 warum nicht 7/3x0 warum nicht 1000x0, warum 1.5x0. Ich hätte doch auch 1x0 nehmen können und hätte ein viel schöneres Ergebnis ohne Bruch. Hier gehts ja um die "schönere Lösung"
So langsam komm ich mir dumm vor.

21.01.2014, 17:30

tigerbine

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RE: Stetigkeitsbeweis x^2, Schritt unklar

Zitat:

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f: D \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \in D \end{eqnarray*}$ , wenn zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ existiert, so dass für alle $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x -x_0| < \delta \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Der Schlüssel liegt darin, dass Delta > 0 ist. Dann muss für alle x mit |x-x0| < Delta gelten .... Du hast nur für x=x0 gezeigt.

22.01.2014, 10:18

Mathelover

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Hätte ich für x=2x0 wählen können?

22.01.2014, 10:21

tigerbine

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Imho ja.

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