Analyt. Geometrie Schnittgerade Ebene - Ebene mit Parameter

21.01.2014, 16:26

Christoph_1991

Analyt. Geometrie Schnittgerade Ebene - Ebene mit Parameter

Hallo alle zusammen,

ich sitze gerade vor folgender Aufgabe:

Ebenen:
E: $\begin{eqnarray*} 2x_{1} +x_{2}=2 \end{eqnarray*}$
F: $\begin{eqnarray*} x_{1} +2x_{2}+ax_{3} =4 \end{eqnarray*}$

Ich soll die Schnittgerade ermitteln.

Mein Vorgehen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 |2\\ 1 & 2 & a|4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gauß-Verfahren angewandt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 |2\\ 0 & 3 & 2a|6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1. Fall $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x_{2}+2a=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2} =-\frac{2}{3}a+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x_{1}-\frac{2}{3}a+2=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_{1}=\frac{2}{3}a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1}=\frac{1}{3}a \end{eqnarray*}$

=>

$\begin{eqnarray*} x_{1}=0+\frac{1}{3}a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2}=2-\frac{2}{3}a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{3}=0+a \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} g:\vec{x} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} +a\begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\\ -\frac{2}{3} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun hänge ich beim zweiten Fall:
a = 0

=> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0|2 \\ 0 & 3 & 0|6\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit ergibt sich doch $\begin{eqnarray*} x_{3}=0 \end{eqnarray*}$
Meine Gleichung müsste dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} 3x_{2}=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2}=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x_{1}+1*2=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1}=0 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} x_{1}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2}=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{3}=0 \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$

=> Ich habe nur einen Aufpunkt aber keinen Richtungsvektor für meine Gerade....

Laut Microsoft Mathematics 4.0 müsste für a = 0 allerdings eine Schnittgerade rauskommen...

Wo habe ich mich vertan?

Vielen Dank!!!!

21.01.2014, 17:27

riwe

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RE: Analyt. Geometrie Schnittgerade Ebene - Ebene mit Parameter
ich erhalte:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\0 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} a \\-2a \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

was mit deiner lösung für a <> 0 übereinstimmt und auch kein problem für a = 0 liefert, bzw. kannst du die entsprechende lösung rauslesen Augenzwinkern

irgendwie denke ich, solltest du den geradenparameter hier nicht unbedingt a nennen verwirrt

21.01.2014, 17:41

Christoph_1991

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RE: Analyt. Geometrie Schnittgerade Ebene - Ebene mit Parameter
Hallo Werner,

ich dachte es ist Sinn der Sache, dass ich das a ausklammere und als Geradenparameter verwende. Uns das unser Mathe-Lehrer zumindest so bei gebracht...

Warum fehlt bei Deinem Richtungsvektor das a bei x3?

x3 = 0+a

Somit geht die 0 in den Aufpunkt mit ein, das a wird ausgeklammert und es steht im Richtungsv. bei x3 eine 1.

21.01.2014, 18:33

riwe

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RE: Analyt. Geometrie Schnittgerade Ebene - Ebene mit Parameter

Zitat:

Original von Christoph_1991
Warum fehlt bei Deinem Richtungsvektor das a bei x3?

weil es dort nix verloren hat Augenzwinkern

der richtungsvektor der schnittgeraden lautet

$\begin{eqnarray*} \vec{r}= \begin{pmatrix} a \\ -2a \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wie man sieht, wenn man das kreuzprodukt bildet oder wenn man das lgs, das aus dem skalarprodukt entsteht, löst.

21.01.2014, 20:29

Christoph_1991

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RE: Analyt. Geometrie Schnittgerade Ebene - Ebene mit Parameter
Problem gelöst:

man setze x3= k

und löse dann nach dem alt bekanntem System auf.

Im Richtungsvektor befindet sich die Variable a. Es kann k ausgeklammert und als Variable für den Richtungsvektor verwendet werden.

Dann kann für a=0 die a's in der Geradengleichung eingesetzt werden, der Richtungsvektor bleibt bestehen, da dieser an die Variable k "gekettet" ist.

Danke :-)

21.01.2014, 22:38

riwe

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RE: Analyt. Geometrie Schnittgerade Ebene - Ebene mit Parameter
wenn dir k lieber ist als t Freude

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