Teilkörper halbgeordnet?

21.01.2014, 20:04

r4ndom19

Teilkörper halbgeordnet?

Hallo,

ich würde zum einen gerne wissen, ob die Menge der Teilkörper eines Körpers halbgeordnet bzgl. $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ ? Und ist es möglich den Schnitt über alle Teilkörper eines Körpers zu bilden? Kann es theoretisch überabzählbar viele Teilkörper geben?

21.01.2014, 20:37

Louis1991

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RE: Teilkörper halbgeordnet?
Zur ersten Frage: jedes System von Mengen ist halbgeordnet bezüglich Inklusion (Halbordnung ist ziemlich schwach, meintest du evtl. etwas anderes?)
Zur zweiten Frage: Der Schnitt über alle Teilkörper ist der Primörper von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ (denn dieser ist schließlich selbst ein Teilkörper und zudem in jedem Teilkörper enthalten)
Zur dritten Frage: ja. Es könnte sein, dass schon die reellen Zahlen das erfüllen, was mir aber gerade nicht vollkommen klar ist. Um auf Nummer sicher zu gehen, würde ich mir einfach mal einen Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ nehmen und dann den Erweiterungskörper $\begin{eqnarray*} K(X_i | i \in \mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ betrachten.

21.01.2014, 21:26

r4ndom19

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RE: Teilkörper halbgeordnet?

Zitat:

Zur ersten Frage: jedes System von Mengen ist halbgeordnet bezüglich Inklusion (Halbordnung ist ziemlich schwach, meintest du evtl. etwas anderes?)

Ja, ich denke schon das ich Halbordnung meine. Es geht mir eben darum, auszuschließen, dass zwei Teilkörper einen "komischen" Schnitt haben, der was kaputt macht.

Zitat:

Zur zweiten Frage: Der Schnitt über alle Teilkörper ist der Primörper von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ (denn dieser ist schließlich selbst ein Teilkörper und zudem in jedem Teilkörper enthalten)

Jap, hab ich mittlerweile auch gemerkt smile

Zitat:

Zur dritten Frage: ja. Es könnte sein, dass schon die reellen Zahlen das erfüllen, was mir aber gerade nicht vollkommen klar ist. Um auf Nummer sicher zu gehen, würde ich mir einfach mal einen Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ nehmen und dann den Erweiterungskörper $\begin{eqnarray*} K(X_i | i \in \mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ betrachten.

Ok, ich muss sagen das ist mir zu schwer smile

Aber wenn das sein kann, dann ist der Schnitt über alle Teilkörper doch nur unter Annahme des Zornschen Lemmas möglich, oder?

21.01.2014, 23:16

Louis1991

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RE: Teilkörper halbgeordnet?
Vorsicht: Halbordnung impliziert keineswegs, dass einer von zwei Teilkörpern in einem anderen enthalten sein muss! Dass ein beliebiger Schnitt von Teilkörpern wieder Teilkörper ist, ist aber ein direct check, und wozu man das Auswahlaxiom (bzw. Zornsches Lemma) braucht, sehe ich auch nicht. Kannst du das erläutern? Abgesehen davon: nicht an das Auswahlaxiom zu glauben, ist sowieso komisch. Augenzwinkern

21.01.2014, 23:33

r4ndom19

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RE: Teilkörper halbgeordnet?

Zitat:

Vorsicht: Halbordnung impliziert keineswegs, dass einer von zwei Teilkörpern in einem anderen enthalten sein muss!

Achso, ich dachte man kann das dann so sagen. Aber gilt für zwei Teilkörper A und B von K
$\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} B \subseteq A \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Dass ein beliebiger Schnitt von Teilkörpern wieder Teilkörper ist, ist aber ein direct check,

Jap merk ich auch gerade Augenzwinkern

Zitat:

und wozu man das Auswahlaxiom (bzw. Zornsches Lemma) braucht, sehe ich auch nicht. Kannst du das erläutern? Abgesehen davon: nicht an das Auswahlaxiom zu glauben, ist sowieso komisch. Augenzwinkern

Naja, wenn man doch einen Schnitt über überabzählbar viele Mengen bildet, braucht man dann nicht das Auswahlaxiom?

21.01.2014, 23:43

Louis1991

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RE: Teilkörper halbgeordnet?

Zitat:

Original von r4ndom19

Achso, ich dachte man kann das dann so sagen. Aber gilt für zwei Teilkörper A und B von K
$\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} B \subseteq A \end{eqnarray*}$ ?

Nein. Man nehme z.B. $\begin{eqnarray*} K= \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit Teilkörpern $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{2}), \mathbb{Q}(\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Naja, wenn man doch einen Schnitt über überabzählbar viele Mengen bildet, braucht man dann nicht das Auswahlaxiom?

Nein. Wozu? Du triffst doch nirgendwo eine "Wahl". Ich bin kein Experte in Logik, aber der Name ist recht intuitiv - 'floppy' bedeutet das Auswahlaxiom ja nur, dass du beliebig viele (voneinander abhängige) Wahlen treffen kannst, beim schneiden von Mengen passiert das aber nicht.

22.01.2014, 19:07

tmo

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RE: Teilkörper halbgeordnet?

Zitat:

Original von Louis1991

Zur dritten Frage: ja. Es könnte sein, dass schon die reellen Zahlen das erfüllen

Tun sie auch:

Zu $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ definieren wir die Äquivalenzrelation

$\begin{eqnarray*} a \sim b \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a) = \mathbb Q(b) \end{eqnarray*}$ .

Ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a) = \mathbb Q(b) \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ inbesondere darstellbar als rationale Funktion in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ mit Koeffizienten aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , dafür gibt es aber nur abzählbar viele Möglichkeiten.

Also ist jede Äquivalenzklasse abzählbar, folglich muss es überabzählbar viele Äquivalenzklassen geben.

Also enthält $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ insbesondere überabzählbar viele verschiedene Kopien des Funktionenkörper über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ . Ganz schön groß Augenzwinkern

23.01.2014, 16:12

Louis1991

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RE: Teilkörper halbgeordnet?
@tmo: Das Argument gefällt mir. Intuitiv dachte ich auch, dass es eine Begründung in der Richtung geben sollte, habe es aber auf Anhieb nicht gesehen und war dann wohl zu faul, da das andere Beispiel ja offensichtlich funktioniert. Aber $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist natürlich viel schöner, als irgendeine abstrakte Erweiterung von überabzählbarem Transzendenzgrad.

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