Euklidischer Algorithmus: Mengenbeweis |
| 21.01.2014, 23:49 | Haido | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Euklidischer Algorithmus: Mengenbeweis Hallo, ich habe vor ca. einem halben Jahr maturiert (österreischische Version des Abiturs) und spiele nun mit dem Gedanken Mathematik zu studieren, da mich vor allem Zahlentheorie (zumindest die einfache und für mich momentan schon verständliche) sehr interessiert. Deshalb habe ich mir als Vorbereitung aufs Studium bzw. um festzustellen, ob es der richtige Studiengang für mich ist, Mathematik für Einsteiger von Klaus Fritzsche besorgt. ^^Lange Rede, wenig relevanter Inhalt, nun also zur Frage: Ich bin gerade beim Euklidischen Algorithmus angekommen und habe auch keine Probleme damit ihn zu beweisen, jedoch hatte ich zuerst Probleme mit dem Beweis im Buch, denn er basiert auf der Tatsache, dass die Schnittmenge der Teiler von a und der Teiler von b gleich der Schnittmenge der Teiler von b und der Teiler von r ist... . Damit ihr euch sicher sein könnt, was ich meine, hier die Gleichungen: I: a= q*b +r II: b= q1(1 als Index)* r + r1(wieder als Index) ... Die oben genannte Basis für den Beweis, war für mich jedoch nicht so offensichtlich wie Herr Fritzsche es annahm, weshalb ich versuchte sie zu beweisen. Meine Ideen: Herausgekommen ist dabei folgender Beweis: 1.) Alle gemeinsamen Teiler t von a und b erfüllen folgende Gleichungen: a = k * t und b = l * t (k,l und t Element der Natürlichen Zahlen) Daraus folgt durch Einsetzen in umgeformtes I: r = k * t - q * l *t = (k-q*l) * t Daraus folgt, dass alle t auch r teilen. D.h. (T(a) geschnitten T(b)) ist eine Teilmenge von T(r) 2.) Alle gemeinsamen Teiler u von b und r erfüllen folgende Gleichungen: b = m * u r = n * u Daraus folgt durch Einsetzen in I: a = g * m * u + n * u = (g * m + n) * u Das bedeutet, dass alle u auch a teilen. D.h. Schnittmenge von T(b) und T(r) ist eine Teilmenge von T(a) 3.) Die Erkentniss von 1.) bedeutet natürlich auch T(a) geschnitten T(b) ist eine Teilmenge von T(r) geschnitten T(b). Außerdem bedeutet 2.) auch T(b) geschnitten T(r) ist eine Teilmenge von T(a) geschnitten T(b). Kombiniert bedeutet das, dass T(a) geschnitten T(b) = T(b) geschnitten T(r) sein muss. Meine zwei Fragen sind nun: Stimmt der Beweis bzw. ist er schlüssig? Meint ihr ich könnte für ein Mathematik-Studium geeignet sein, obwohl ich die oben genannte Basis nicht sofort als logisch erkannt habe? Gruß Haido Nachtrag: Habe den Formeleditor erst nach dem Verfassen gesehen, bitte um Entschuldigung und hoffe trotzdem auf gute Lesbarkeit und nette Antworten! 
|
||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
