Extremwertproblem mit Tunnel

22.01.2014, 12:11

ChrisBK

Extremwertproblem mit Tunnel

Hallo, wir hatten heute eine Aufgabe und die macht micht stutzig.
In einen Tunnelquerschnitt soll ein Rechteck mit maximaler Fläche integriert werden, der Tunnel rührt von der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=-0,5x^{2}+ 12 | y\geq0 \end{eqnarray*}$

Als Zielfunktion habe ich $\begin{eqnarray*} A(a)=f(a)\cdot (9.8-a) \end{eqnarray*}$
Ist das richtig?

22.01.2014, 12:23

Mi_cha

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Wie kommst du dadrauf?
Ich erhalte $\begin{eqnarray*} A(a)=2*a*f(a) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\geq 0 \end{eqnarray*}$

22.01.2014, 12:24

tigerbine

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RE: Extremwertproblem mit Tunnel
woher stammt z.B. die 9.8?

Maximale Breite des Rechtecks ist _____, die zugehörige Höhe ist ______.

Maximale Höhe des Rechtecks ist _____, die zugehörige Breite ist ______

Zwischen Welchen Werten sollte man x nur betrachten (Achtung Symmetrie).

0 <= x <= ?

Achtung, hier bitte noch nicht runden! Wurzelausdrücke verwenden.

edit: zu spät. Bin raus Wink

22.01.2014, 12:36

ChrisBK

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Die allgemeine GLeichung für den Flächeninhalt von nem Rechteck ist ja $\begin{eqnarray*} A=a \cdot b \end{eqnarray*}$ und das habe ich modifiziert und habe dann $\begin{eqnarray*} A= f(a) \cdot (9.8-a) \end{eqnarray*}$ Das f(a) ist dbei die eine Seite die andere ist a und um a rauszubekommen, habe ich die gesamte eingeschlossene Fläche der x-Achse mit a subtrahiert, da a ja nicht die gesamten 9,8LE sind.

22.01.2014, 12:42

theniles

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also du hast die ausgangsfunktion:

$\begin{eqnarray*} f(x) = -\frac{1}{2} x^2 +12 \end{eqnarray*}$

und weißt, dass du auch eine Funktion für den Flächeninhalt brauchst, wie du ja auch schon gesagt hast.

$\begin{eqnarray*} A = a*b \end{eqnarray*}$

Jetzt ist natürlich wichtig zu wissen, wie der Graph von f(x) aussieht. Da er achsensymmetrisch ist kannst du auf jeden fall schonmal eine Aussage darüber machen, inwieweit du a und b in f(x) einbringen kannst. Wenn du dir vorstellst, dass der x Wert durch a ausgedrückt werden kann und y dann b entspricht dann hast du es fast schon.

22.01.2014, 12:46

Mi_cha

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Zunächst einmal solltest du nicht mit gerundeten Werten rechnen. Die 9,8 sind nur "etwa" der Abstand beider Nullstellen der Funktion; lass die Wurzeln stehen.
Allerdings braucht man diesen Wert gar nicht.

Betrachte nochmal diese Skizze:

Wenn man sich dort ein Rechteck hineindenkt, hat das zwar die Höhe $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ nicht aber die Breite $\begin{eqnarray*} (9,8-a) \end{eqnarray*}$ .

22.01.2014, 13:47

ChrisBK

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Aber ich verstehe nicht, wieso $\begin{eqnarray*} (9,8-a) \end{eqnarray*}$ nicht die Breite ist, es müsste doch eigentlich so stimmen, wenn f(a) meine Höhe ist, bleibt doch nur noch das über, oder hab ich einen Denkfehler?

22.01.2014, 14:14

klarsoweit

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Nehmen wir ein Beispiel: wenn x=2 ist, welche Höhe hat dann das Rechteck? Wie groß ist dann seine Fläche?

22.01.2014, 14:22

ChrisBK

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Wenn x=2 dann wäre ja die Höhe f(x) also 10.
Aber für die Fläche fehlt mir ja dann noch die Grundseite und daran hapert es bei mir hab ich das Gefühl. Hammer

Bzw. wäre die Fläche dann $\begin{eqnarray*} A=x \cdot f(x)=20FE \end{eqnarray*}$

22.01.2014, 14:30

theniles

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also du hast die ausgangsformel und die formel für dein quader.

jetzt überleg dir, wie das im gezeichneten graphen aussähe. nehmen wir an die grundseite des quaders ist a und die höhe ist b. dann wäre also a auf der x-achse und b wäre der y-wert.

da das quader ja in den grenzen der parabel gesetzt wird, die wiederum achsensymmetrisch ist, dann heißt das, dass die grundseite zu gleichen teilen im positiven und im negativen bereich liegt, also die grundseite ist zur hälfte im positiven bereich (= a/2) und ebenso im negativen bereich.

das heißt du ersetzt in der grundformel das x mit (a/2) und daraus resultiert dann dementsprechend der b-wert.

also:

$\begin{eqnarray*} f(\frac{a}{2} ) = b \end{eqnarray*}$

dieses kannst du dann wiederum in die formel für die fläche des quaders einsetzen, sodass du nur noch eine unbekannte größe hast.

22.01.2014, 17:42

sulo

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@theniles

Wir haben hier keinen Quader vorliegen sondern ein Rechteck. Davon abgesehen heißt es der Quader. Augenzwinkern

Es ist auch ungünstig, mit $\begin{eqnarray*} f(\frac{a}{2} ) = b \end{eqnarray*}$ eine Variable (b) einzuführen, die schon in der Rechteckgleichung belegt ist.

Man kann entweder direkt mit a/2 rechnen oder festlegen, dass die Grundseite 2a beträgt.

Somit hätten wir a für die halbe Rechteckgrundseite und können eine einfache Flächenformel mit $\begin{eqnarray*} A(a) =a \cdot f(a) \end{eqnarray*}$ aufstellen.

smile

22.01.2014, 18:37

theniles

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Zitat:

Original von sulo

Wir haben hier keinen Quader vorliegen sondern ein Rechteck. Davon abgesehen heißt es der Quader. Augenzwinkern

sry, versprochen

Zitat:

Es ist auch ungünstig, mit $\begin{eqnarray*} f(\frac{a}{2} ) = b \end{eqnarray*}$ eine Variable (b) einzuführen, die schon in der Rechteckgleichung belegt ist.

ich führe b nicht ein sondern meine genau das b aus der rechteckgleichung. iwie muss man den bezug doch herstellen. mit der formel hab ich die aufgabe zumindest gelöst bekommen.

22.01.2014, 18:44

sulo

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Ah, das war bei deinen Beschreibungen des "Quaders" nicht ganz klar geworden. Augenzwinkern

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Extremwertproblem mit Tunnel

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