Doppelpost! mehrfachsymmetrische 2dim Trägheitsmomente

22.01.2014, 14:29	Alexx99	Auf diesen Beitrag antworten »
mehrfachsymmetrische 2dim Trägheitsmomente Meine Frage: Hallo allerseits, Stell mir die Frage wieso Querschnitte die rotations- und über beide achsen symmetrisch sind, für beide Achsen das selbe Trägheitsmoment aufweisen. Wenn die Achsen zu Aussparungen bspw. Bohrlöchern unterschiedliche Abstandswinkel haben. Zb. Kreisförmiger Querschnitt mit 6 Bohrlöchern oder gleichseitigem 6-Eckausschnitt. Meine Ideen: Angenommen wir haben einen Kreis mit 6 oder 5 Kreisausschnitte selben Abstands (r vom Mittelpunkt und y-achse halbiert einen hiervon z.B. Die negativen Steineranteile für eine Achse müssen beim Drehen so stark abnehmen/zunehmen wie die der anderen. Schließlich rotationssymmetrisch. Aber wieso sind die Trägheitsmomente gleich groß auch bei anderer Lage zu den Aussparungen. für 5 Löcher: Ixxges-5Ixxb-4(sin(phi)r)²Ab-(sin(phi2)r)²Ab = Ixxges-5Ixxb-4(cos(phi)r)²Ab-(cos(phi2)r)²Ab
23.01.2014, 13:03	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei Rotationskörpern (z.B. Zylinder, Kreisscheibe usw.) sind die Trägheitsmomente bezüglich aller Drehachsen identisch, die senkrecht zur Symmetrieachse liegen. Wenn im Rotationskörper gewisse "Aussparungen" vorhanden sind (z.B. Bohrungen), dann gilt das im Allgemeinen nicht mehr. Eventuell sind diese Aussparungen aber so klein, dass man sie praktisch vernachlässigen kann. Wenn die Aussparungen symmetrisch angeordnet sind, so können die Trägheitsmomente für ausgewählte Achsen, die senkrecht zur Symmetieachse liegen, wiederum gleich sein, aber nicht für alle.
24.01.2014, 17:19	Alex99	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Ehos. Konkret sind es 2 Fälle die mich stutzig machen, bei denen die Symmetrieachse nicht senkrecht zur Biege-,Drehachse liegt und doch beide Flächenmomente gleich groß sind. Der Tutor sagte leichthin doppelsymmetrisch also Ixx=Iyy, konnte es aber auf Bitten nicht erklären: 1. Ein Kreisquerschnitt mit 6 Löchern, im selben Abstand vom Mittelpunkt, auf je pi/3 abstand also rotationssymmetrisch, dabei halbierte die y-Achse eines der Löcher die x-Achse schnittkeines. Ixx=Iyy 2. Ein Kreisquerschnitt mit gleichseitigem 6-Eckausschnitt in der Mitte. wieder Ixx=Iyy. Je Achse ist der Querschnitt symmetrisch, aber es sind verschiedene Symmetrien. Hängt das vielleicht irgendwie mit der Änderung dI/d(phi) zusammen?
27.01.2014, 09:45	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Tutor hat recht: Satz: Das Trägheitsmoment einer Kreisscheibe mit 6 Bohrungen, die konzentrisch im Abstand von 60° auf einem Kreis liegen ist in folgenden beiden Fällen identisch: Fall 1: Die Drehachse geht durch 2 gegenüberliegende Bohrungen Fall 2: Die Drehachse geht durch keine der 6 Bohrungen und liegt derart, dass deren Abstand zur gegenüberliegenden Bohrung gleich ist (also paarweise). Beweis Wir müssen nur das "fehlende" Trägheitsmoment der Bohrungen berechnen. Dazu betrachten wir die Bohrungen als Massepunkte, die im Abstand von 60° auf einem Kreis liegen Fall 1: Diejenigen 2 Massepunkte, welche direkt auf der Drehachse liegen, haben kein Trägheitsmoment bezüglich dieser Drehachse. Die restlichen 4 Punkte haben alle den gleichen Abstand $\begin{eqnarray} a=\tfrac{R}{2}\sqrt{3} \end{eqnarray}$ von der Drehachs, so dass das Gesamtträgheitsmoment aller 6 Punkte nach dem Satz von Steiner lautet $\begin{eqnarray} J=4ma^2=4m \left ( \tfrac{R}{2}\sqrt{3}\right )^2=3R^2m \end{eqnarray}$ Fall 2: In diesem Falle haben 4 Massepunkte den Abstand $\begin{eqnarray} a_1=\tfrac{1}{2}R \end{eqnarray}$ und 2 Masspunkte den Abstand $\begin{eqnarray} a_2=R \end{eqnarray}$ von der Drehachse. Demnach lautet das Gesamtträgheitsmoment nach dem Satz von Steiner $\begin{eqnarray} J=4ma_1^2+2ma_2^2=4m\left ( \tfrac{R}{2}\right )^2+2mR^2=3mR^2 \end{eqnarray}$ Beide Trägheitsmomente sind also identisch. w.z.b.w. ----------------------- Interssant wäre es, ob das Trägkeitsmoment auch bei allen anderen Drehachsen den gleichen Wert hat.
27.01.2014, 09:54	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Da die Frage eher physikalischer Natur ist, im Physikerboard ebenfalls gestellt wurde und dort auch bereits geholten wird, schließe ich hier. Bitte nicht in mehreren Foren gleichzeitig fragen. Steffen

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