Waldsche Gleichheit, Beweis

22.01.2014, 18:53	mathmada	Auf diesen Beitrag antworten »
Waldsche Gleichheit, Beweis Hallo Ihr, Kennt jemand den Beweis der Waldsche Gleichheit? Über einen kommentierten Lösungsweg würde ich mich sehr sehr freuen. Alleine kriege ich das nicht hin. Die komplette Aufgabe lautet so: Sei $\begin{eqnarray} (X_n)_n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ eine Folge identisch verteilter, integrierbarer Zufallszahlen und $\begin{eqnarray} (F_n)_n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ eine Filtration an die die Folge adaptiert ist. Jedes $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} F_n \end{eqnarray}$ -messbar und jedes $\begin{eqnarray} X_{n+1} \end{eqnarray}$ sei von $\begin{eqnarray} F_n \end{eqnarray}$ unabhängig. Die Summe der ersten $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Zufallsvariiablen werde mit $\begin{eqnarray} S_n := X_1+...+X_2 \end{eqnarray}$ bezeichnet und $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ sei eine integrierbare Stoppzeit bezüglich der genannten Filtration. Beweise die sogenannte Waldsche Gleichheit $\begin{eqnarray} E[S_T]=E[T]E[X_1] \end{eqnarray}$ Dankeschön
24.01.2014, 21:25	ghjk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Waldsche Gleichheit, Beweis Schade
25.01.2014, 09:13	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Waldsche Gleichheit, Beweis hallo, guck mal bei wikipedia unter "formel von wald", dort findest du den beweis. gruss ollie3
25.01.2014, 10:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, naja, in der deutschen Wikipedia steht nur der Beweis für den Fall, wenn $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ unabhängig ist von $\begin{eqnarray} X_1,X_2,\ldots \end{eqnarray}$ - bei einer beliebigen Stoppzeit $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ ist das i.a. nicht voraussetzbar. Auf der zugehörigen englischen Seite steht allerdings ein Beweis der Waldschen Identität unter Nutzung des Optional Stopping Theorems.
29.01.2014, 19:45	xyzya	Auf diesen Beitrag antworten »
warum genau gilt das? (aus wikipedia) Es sei nun $\begin{eqnarray} (X_n)_{n\geq 1} \end{eqnarray}$ eine Folge identisch verteilter integrierbarer Zufallsvariablen, die an eine Filtrierung $\begin{eqnarray} (\mathcal{F}_n)_n \end{eqnarray}$ adaptiert ist, das heißt für alle n ist $\begin{eqnarray} X_n \mathcal{F}_n \end{eqnarray}$ -messbar. Wenn $\begin{eqnarray} X_{n+1} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \mathcal{F}_n \end{eqnarray}$ unabhängig ist für alle $\begin{eqnarray} n \in N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ eine integrierbare Stoppzeit bezüglich $\begin{eqnarray} (\mathcal{F}_n)_n \end{eqnarray}$ ist, so gilt ebenfalls die Formel von Wald:[3] $\begin{eqnarray} \operatorname{E}\left(\sum_{k=1}^TX_k\right)=\operatorname{E}(T)\operatorname{E}(X_1) \end{eqnarray}$ .

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