stetige Funktion mit unendlich vielen Nullstellen

22.01.2014, 20:07	LauraL	Auf diesen Beitrag antworten »
stetige Funktion mit unendlich vielen Nullstellen Meine Frage: Man gebe ein Beispiel für stetige Funktion f:[0,1] -> $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ , x -> f(x) die unendlich viele Nullstellen und unendlich viele isolierte lokale Maxima besitzt, deren Funktionswert $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 1 ist. Meine Ideen: Also da wir gerade Sinus und Cosinus machen, kame ich zur folgende die Idee: $\begin{eqnarray} \sin(\frac{1}{x} ) \end{eqnarray}$ besitzt ja die Eigenschaften, BIS auf die Stetigkeit, die ist im Punkt 0 ja nicht stetig! Ich könnte ja auch: x* $\begin{eqnarray} \sin(\frac{1}{x} ) \end{eqnarray}$ für x in ]0,1] und 0 für x = 0 Dann wäre sie stetig, ABER das multiplizieren mit x macht die Funktionwerte kleiner als 1
22.01.2014, 21:38	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo LauraL, Ich bin kein Analysis-Experte, aber wie sieht es aus mit $\begin{eqnarray} f(0)= 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)= 1+xsin(\pi/x) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} (0,\frac{1}{2}] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)= 1- (x- 1/2) \cdot 4 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [\frac{1}{2}, \frac{3}{4}] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)= 0 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [ \frac{3}{4}, 1] \end{eqnarray}$ lg
22.01.2014, 22:02	dastrian	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetige Funktion mit unendlich vielen Nullstellen Ich glaube (sehr spontan), das ist gar nicht möglich, und behaupte, dies wie folgt zu beweisen: Angenommen, es gibt eine Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit den geforderten Eigenschaften, d.h. es gibt im Intervall $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ unendlich viele lokale isolierte Maxima $\begin{eqnarray} (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit Funktionswert $\begin{eqnarray} f(x_n) \geq 1 \end{eqnarray}$ . Isoliert bedeutet nun, dass es für jedes $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ eine offene Umgebung $\begin{eqnarray} U_n \end{eqnarray}$ gibt, die paarweise disjunkt sind, soll heißen: $\begin{eqnarray} U_n \subset [0,1] \end{eqnarray}$ ist offen (bzgl. der von der Standardtopologie auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ induzierten Topologie auf $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ ), $\begin{eqnarray} x_n \in U_n \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} U_n \cap U_m = \emptyset \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \neq m \end{eqnarray}$ . Weiter ist $\begin{eqnarray} V := \{ x \in \mathbb{R} : f(x) < 1 \} \subset [0,1] \end{eqnarray}$ ebenfalls offen, da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ stetig ist. Also ist $\begin{eqnarray} \{ V , U_n \} \end{eqnarray}$ eine offene Überdeckung von $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ . Wegen der Kompaktheit des abgeschlossenen Intervalls gibt es eine endliche Teilüberdeckung, was zum Widerspruch zur Disjunktheit der $\begin{eqnarray} U_n \end{eqnarray}$ führt. - Oder hab ich die Bedeutung von "isoliert" missverstanden? edit: @Louis: Ich glaube, deine Hochpunkte haben nicht alle Werte $\begin{eqnarray} \geq 1 \end{eqnarray}$
22.01.2014, 22:04	Evelyn89	Auf diesen Beitrag antworten »
So eine Funktion existiert nicht! Hier der Gegenbeweis: Nicht unendich viele Maxima zwischen 2 Nullstellen Es verträgt sich also nicht mit der Stetigkeit von f.
22.01.2014, 22:11	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich dachte zuerst auch daran, zu zeigen, dass so eine Funktion nicht existiert. Ich bin mir aber relativ sicher, dass meine Funktion funktioniert. Meine Antwort @Evelyn: es wird in der Aufgabe nicht gefordert, dass die Nullstellen zwischen den Maxima liegen Meine Antwort @dastrian: bei meiner Funktion ist jedes Extremum isoliert, aber um 0 enthält jede Umgebung unendlich viele Extremstellen. (deswegen geht hier der Beweis mit der Überlagerung nicht, den ich zuerst unter Annahme falscher Voraussetzungen auch machen wollte) Edit: genauer gesagt überdeckst du mit deiner Überdeckung Punkte mit Funktionswert 1 (evtl.) nicht. Bei meinem Beispiel ist das gerade so angestellt, dass du durch den Versuch das zu machen, alles bis auf endlich viele der Umgebungen $\begin{eqnarray} U_n \end{eqnarray}$ mit überdeckst.
23.01.2014, 00:15	dastrian	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast Recht, ich bin bei meinem Beweis fälschlicherweise davon ausgegangen, dass $\begin{eqnarray} \bigcup_n U_n \end{eqnarray}$ bereits alle Punkte enthält, deren Funktionswerte $\begin{eqnarray} \geq 1 \end{eqnarray}$ sind. Und natürlich haben deine Hochpunkte alle Werte $\begin{eqnarray} \geq 1 \end{eqnarray}$ ... nice
Anzeige

23.01.2014, 09:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@Louis1991 Ja, schönes Beispiel. @Evelyn89 Du hast vermutlich übersehen, dass es einen entscheidenden Unterschied zu der Problemstellung im anderen Thread gibt: Hier wird nicht gefordert, dass sich zwischen den Nullstellen jeweils ein solches Maximum befindet - und beim Beispiel von Louis sind Maximum- und Nullstellen richtig deutlich "räumlich" getrennt.
23.01.2014, 14:06	Evelyn89	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Fehler. Danke fürs Richtigstellen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »