Definitionsbereich der Wurzelfunktion

22.01.2014, 22:03

Kekschen

Definitionsbereich der Wurzelfunktion

Habe hier ein Beispiel für eine Wurzelfunktion:

"Sei $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt[3] x \end{eqnarray*}$ ."

Diese erste Schreibweise verwirrt mich noch, das bedeutet doch quasi, dass sowohl der Definitionsbereich als auch der Wertebereich ganz IR ist. Aber die Wurzel ist doch für negative Zahlen gar nicht definiert. unglücklich

22.01.2014, 22:48

kgV

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Das liegt daran, dass wir hier eine dritte Wurzel vorliegen haben. Und die ist auch für negative Zahlen definiert. So ist z.B. $\begin{eqnarray*} (-2)^3=-8 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-8}=-2 \end{eqnarray*}$ , denn die n-te Wurzel von x ist definiert als jene reelle Zahl r, die n mal mit sich selbst multipliziert x ergibt

Lg
kgV
Wink

22.01.2014, 22:59

Kekschen

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Wusste gar nicht, dass es da einen Unterschied gibt. Dankeschön!

22.01.2014, 23:00

Dopap

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wenn man negative Zahlen zulässt, dann stolpert man von Problem zu Problem.

z.B gilt dann $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]x \neq x^{\tfrac 13} \end{eqnarray*}$ ...etc.

Ich halte die Schreibfigur für einen Flüchtigkeitsfehler, Quelle?

22.01.2014, 23:04

Kekschen

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War ein Beispiel aus der Vorlesung, wieso ist das falsch? Das kann kein Flüchtigkeitsfehler sein, weil das nächste Beispiel $\begin{eqnarray*} g : [0, \infty) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(x) = \sqrt[4] x \end{eqnarray*}$ lautet.

22.01.2014, 23:17

Equester

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Zitat:

Original von kgV
Das liegt daran, dass wir hier eine dritte Wurzel vorliegen haben. Und die ist auch für negative Zahlen definiert.

Hmm, wenn ich da kurz einwerfen darf. Das kommt drauf an von wem man lernt. Da gibts unterschiedliche Definitionen. Ich beispielsweise bin damit aufgewachsen, das der Radikand stehts positiv sein muss. Ob gerade oder ungerade Wurzel.

Lösungen wie von $\begin{eqnarray*} x^3 = -8 \end{eqnarray*}$ werden ausschließlich mit $\begin{eqnarray*} x = -\sqrt[3]{8} \end{eqnarray*}$ angegeben.

Wiki sagt das auch. "Dass diesbzgl unterschiedliche Positionen vertreten werden".
Wiki-Link

Wink

22.01.2014, 23:35

kgV

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Wir sind mit der oben zitierten Definition von Wurzeln in R "großgeworden" und da steht auch nix à la positiv definit oder ähnlichem. Dass es da aber durchaus Diskussionen gibt, ist mir durchaus bewusst...

edit: habe das nochmal nachgeprüft: da stand doch ein $\begin{eqnarray*} \geq0 \end{eqnarray*}$ in der Bedingung... Ups

23.01.2014, 00:07

Kekschen

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Habe wohl folgendes übersehen:

"Für $\begin{eqnarray*} n \geq 3 \end{eqnarray*}$ heißt

$\begin{eqnarray*} f : D \to \mathbb R \ mit \ f(x) = \sqrt[n] x \end{eqnarray*}$

die n-te Wurzel. Ist n gerade, so ist $\begin{eqnarray*} D = [0, \infty) \end{eqnarray*}$ , ist n ungerade, so ist D = IR."

Also ist das falsch?

23.01.2014, 11:06

kgV

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Das hängt von eurer Definition der Wurzel ab... Wenn ihr sie so definiert, dann ist es richtig, sonst (positiv definit) nicht - Definitionssache eben smile

23.01.2014, 16:28

Kekschen

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Versteh ich nicht, das war die Definition der Wurzel (für $\begin{eqnarray*} n \geq 3 \end{eqnarray*}$ )...

23.01.2014, 19:31

kgV

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Achso, wenn das eure Definition der Wurzeln war, dann ist das per Definition so und damit auch "richtig" smile

Über Definitionen kann man nicht verhandeln.

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