Überlagerung von Schwingungen

23.01.2014, 03:07

Kathi_121

Überlagerung von Schwingungen

Meine Frage:
Bin während dem Lernen für die Mathe- Klausur auf 2 Beispiele gestoßen, bei denen ich wirklich nicht weiter weiß.

Beispiel 1:

Berechnen sie jene Phasenverschiebung x Element von [0, 2*pi], für die die Amplitude der Funktion: f(t) = 4*cos(t+x) + 3*sin(t) maximal bzw. minimal wird.

Beispiel 2:

Sei w > 0 und x Element von [0, Pi/2]. Berechnen sie die Überlagerung der gleichfrequenten Schwingung: f(t)= sin(w*t+x) + sin(w*t-x)
in der Form A*sin(w*t+x). Für welches x wird die Amplitude Maximal?

Wie das Zusammenrechnen von Schwingungen bei einer Überlagerung funktioniert weiß ich, jedoch komme ich einfach nicht voran bei diesem Beispiel. Würde mich über einige Tipps freuen!

Meine Ideen:

Wie das Zusammenrechnen von Schwingungen bei einer Überlagerung funktioniert weiß ich, jedoch komme ich einfach nicht voran bei diesem Beispiel. Würde mich über einige Tipps freuen!

23.01.2014, 10:06

Steffen Bühler

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RE: Überlagerung von Schwingungen
Herzlich willkommen im Matheboard!

Zitat:

Original von Kathi_121
Wie das Zusammenrechnen von Schwingungen bei einer Überlagerung funktioniert weiß ich

Prima, dann schreib doch mal die allgemeine Formel für die Überlagerung

$\begin{eqnarray*} a_1 \sin (\omega t + \varphi _1 ) + a_2 \sin (\omega t + \varphi _2 )= ... \end{eqnarray*}$

hin.

Viele Grüße
Steffen

23.01.2014, 14:28

Ehos

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Vereinfache den 1.Summanden deiner Funktion f(t) mit folgendem Additionstheorem

$\begin{eqnarray*} \cos(t+x)=\cos(t)\cos(x)-\sin(t)\sin(x) \end{eqnarray*}$

Einsetzen in deine Funktion f(t) ergibt

$\begin{eqnarray*} f(t)=4\cdot \underbrace{[\cos(t)\cos(x)-\sin(t)\sin(x)]}_{\cos(t+x)}+3\cdot \sin(t)=\underbrace{4\cdot \cos(x)}_{\text{konstanter Faktor A}}\cdot \cos(t)+\underbrace{[3-4\cdot \sin(x)]}_{\text{konstanter Faktor B}}\cdot \sin(t) \end{eqnarray*}$

Wenn man zwei Schwingungen $\begin{eqnarray*} A\cdot \cos(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B\cdot \sin(t) \end{eqnarray*}$ überlagert, so ist die Amplitude der überlagerten Schwingung bekanntlich

$\begin{eqnarray*} C=\sqrt{A^2+B^2} \end{eqnarray*}$

Einsetzen der Faktoren A, B aus der obigen Formel liefert

$\begin{eqnarray*} C=\sqrt{16\cdot \cos^2(x)+[3-4\cdot \sin(x)]^2} \end{eqnarray*}$

Damit diese Amplitude extremal wird, muss deren Ableitung nach x verschwinden usw.

23.01.2014, 17:50

HAL 9000

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Man muss zur Maximumfindung hier nicht gleich zur Ableitung greifen: Aufgrund von $\begin{eqnarray*} \cos^2(x)+\sin^2(x)=1 \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} C^2 = 16\cos^2(x) + (3-4\sin(x))^2 = 16\cos^2(x) + 9-24\sin(x)+16\sin^2(x) = 25-24\sin(x) \end{eqnarray*}$ ,

d.h. $\begin{eqnarray*} C^2 \end{eqnarray*}$ wird maximal, wenn $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ minimal wird, also $\begin{eqnarray*} \sin(x)=-1 \end{eqnarray*}$ , und diese Stelle(n) kann man ja leicht angeben.

P.S.: An sich sollte aber auch mit weniger Rechnung klar sein, dass die maximale Amplitude erreicht wird, wenn beide Summanden "in Phase" sind, so dass man an

$\begin{eqnarray*} f(t) = 4\cos(t+x) +3\sin(t) = 4\sin\left(t+x+\frac{\pi}{2}\right) +3\sin(t) \end{eqnarray*}$

das passende $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eigentlich direkt ablesen kann. (Ich sehe erst jetzt nach Abfassung dieser Zeilen, dass Steffen wohl ähnliches im Sinn hatte - Entschuldigung.)

24.01.2014, 08:55

Ehos

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@Hal 9000
Du hast recht. Das ist noch einfacher und deshalb besser.

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