Summe binomis

23.01.2014, 09:18	HDK	Auf diesen Beitrag antworten »
Summe binomis Beweisen Sie: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n{5n\choose 5k}=\frac{2^{5n}+a_n}5 \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} a_{n+2}=a_n - 11 a_{n+1} \text{ und } a_0=4,~a_1=-22 \end{eqnarray}$ Lieber Fragesteller, leider hast du keine eigenen Gedanken oder Ansätze zum Lösen deines Problems aufgeschrieben. Dies ist aber unbedingt notwendig, wenn du Hilfe haben möchtest. Deshalb schreibe noch auf, welche Überlegungen du schon angestellt hast. Bitte achte auch darauf, deine Frage klar und präzise zu formulieren (z.B die gesamte Aufgabenstellung aufschreiben), damit dir jemand helfen kann. Dein MatheBoard-Team
23.01.2014, 10:17	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Klingt auf jeden Fall nach einer interessanten Problemstellung. a) Ich würde zunächst in die Richtung $\begin{eqnarray} f_n(z) = (1+z)^{5n} = \sum_{j=0}^{5n} \binom{5n}{j} z^j \end{eqnarray}$ denken und dann evtl. für $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ die fünften Einheitswurzeln o.ä. betrachten ... aber ich sehe da noch keine deutlichen Erfolgsaussichten. b) Von der Lösungsdarstellung zurückgeschlossen muss wohl $\begin{eqnarray} b_n:=\sum_{k=0}^n \binom{5n}{5k} \end{eqnarray}$ die Differenzengleichung $\begin{eqnarray} b_{n+3} = 21b_{n+2}+353b_{n+1}-32b_n \end{eqnarray}$ erfüllen - vielleicht ist auch auf diesem Wege was möglich. EDIT: Beim genaueren Nachdenken - Weg a) sieht eigentlich ganz gut aus: Es ist dann $\begin{eqnarray} b_n = \frac{1}{5} \sum_{m=-2}^2 f(q^m) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} q=\exp\left( \frac{2\pi}{5} i \right) \end{eqnarray}$ und man muss "lediglich" noch nachweisen, dass dies die in der Aufgabe angegebene Darstellung besitzt.
23.01.2014, 11:13	Grautvornix	Auf diesen Beitrag antworten »
Wer suchet, der findet ... manchmal Folgender Thread matheboard.de/thread.php?threadid=415740 sollte hinreichende Inspiration liefern!
23.01.2014, 18:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit völlig analoge Schlussweise kommt man übrigens für $\begin{eqnarray} S(u,v) := \sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{u}{v} \right\rfloor} \binom{u}{vk} \end{eqnarray}$ mit positiven ganzen Zahlen $\begin{eqnarray} u,v \end{eqnarray}$ zur allgemeineren Aussage $\begin{eqnarray} S(u,v) = \frac{1}{v} \sum_{m=0}^{v-1} (1+q^m)^u \end{eqnarray}$ mit einer primitiven $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ -ten Einheitswurzel $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ , wie z.B. $\begin{eqnarray} q = \exp\left( \frac{2\pi}{v} i\right) \end{eqnarray}$ .

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