Zusammenhang zwischen linearen und affinen Abbildungen (Drehung und Spiegelung)

23.01.2014, 13:26	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhang zwischen linearen und affinen Abbildungen (Drehung und Spiegelung) Moin, ich habe hier eine Aufgabe vor mir, bei der ich einen Lösungsweg vermute, welchen ich aber nicht beschreiten kann. Ich habe folgende Aufgabe: Seien $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ein 3-dimensionaler euklidischer affiner Raum, $\begin{eqnarray} \rho \end{eqnarray}$ eine affine Drehung mit Drehachse $\begin{eqnarray} \mathfrak{D} \subset X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma_{\mathfrak{h}} \end{eqnarray}$ eine Spiegelung an der affinen Ebene $\begin{eqnarray} \mathfrak{h} \in X \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \mathfrak{D} \subset \mathfrak{h} \end{eqnarray}$ gelte. Begründen Sie, warum $\begin{eqnarray} \sigma_\mathfrak{h} \circ \rho \end{eqnarray}$ eine Spiegelung ist. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Mein Lösungsansatz: Ich kenne mich mit affinen Abbildungen nicht so gut aus bzw. wüsste nicht, wie ich die Aufgabe allein mit affinen Abbildungen lösen könnte. Ich kann allerdings recht gut mit linearen Drehungen und linearen Spiegelungen umgehen. Ich weiß zum Beispiel, dass eine Orthogonale Abbildung im 3-dimensionalen, wenn der Eigenraum zum Eigenwert 1 die Dimension 2 hat, eine Spiegelung ist. Ich stelle mir das ganze jetzt folgendermaßen vor: 1. Ich nehme mir die zu $\begin{eqnarray} \rho \end{eqnarray}$ gehörende lineare Drehung mit Drehachse $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ 2. Ich nehme mir die zu $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ gehörende lineare Spiegelung mit Spiegelebene $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ 3. Ich weiß jetzt, dass $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ der Eigenraum zum Eigenwert 1 der linearen Drehung ist und die Dimension 1 hat. 4. Ich weiß jetzt auch, dass $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ der Eigenraum zum Eigenwert 1 der linearen Spiegelung ist und die Dimension 2 hat. 5. Ich würde jetzt gerne aus der Vorraussetzung $\begin{eqnarray} \mathfrak{D} \subset \mathfrak{h} \end{eqnarray}$ folgern, dass auch $\begin{eqnarray} D \subset H \end{eqnarray}$ gilt. Ich wüsste dann, dass der Eigenraum der linearen Spiegelung, verkettet mit der linearen Drehung die Dimension 2 hat. Damit wäre diese Verkettung eine lineare Spiegelung. 6. Ich würde jetzt gern noch zeigen, dass wenn die zugehörige verkettete lineare Abbildung eine lineare Spiegelung ist, auch $\begin{eqnarray} \rho \circ \sigma \end{eqnarray}$ eine affine Spiegelung ist. Jetzt wäre ich fertig. Ich habe das Gefühl, dass das so geht. Leider weiß ich nicht, wie ich vernünftig Argumentieren kann. Kann mir eventuell jemand den Zusammenhang zwischen affinen und linearen Abbildungen noch mal klar machen? Mir würde auch eine gute Quelle reichen, wo das ausgiebig erklärt ist. Ich wäre wirklich äußerst dankbar . Falls ich mich irgendwo unklar ausgedrückt habe, erkläre ich auch gerne noch einmal, was ich genau sagen wollte. Gruß Martin
23.01.2014, 15:57	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
O.B.d.A. kann man das Koordinatensystem so legen, dass die yz-Ebene die Spiegelebene ist und die z-Achse die Drehachse. (Dann liegt offenbar die Drehachse innerhalb der Spiegelebene, wie es gefordert ist.) Die Spiegelmatrix S und die Drehmatrix D lauten dann $\begin{eqnarray} S=\begin{pmatrix} -1 & & \\ & 1 & \\ & & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D=\begin{pmatrix} \cos(\phi) & -\sin(\phi) \\ \sin(\phi)& \cos(\phi) & \\ & & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Hintereinausführung beider Operationen ist die Matrix $\begin{eqnarray} SD=\begin{pmatrix}- \cos(\phi) & \sin(\phi) \\ \sin(\phi)& \cos(\phi) & \\ & & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zu zeigen ist, dass stets eine Spiegelebene derart existiert, dass die Spiegelung daran genau dieser Matrix SD entspricht. Anschaulich ist klar, dass diese gesuchte Spiegebene genau diejenige "schiefe" Ebene ist, welche entsteht, wenn man die yz-Ebene um den Winkel 90°-phi/2 um die z-Achse verdreht. Finde die Matrix, welche der Spiegelung an dieser "schiefen" Ebene entspricht und du wirst sehen, dass diese genau mit der obigen Matrix SD übereinstimmt.
23.01.2014, 16:05	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie ich das verstehe, muss ich das letzte gar nicht mehr machen. Also ich verstehe das so, dass meine affine Drehachse und meine affine Spiegelebene irgendwo im Raum liegen. Ich nehme mir jetzt ein Koordinatensystem so wie du es beschreibst und bekomme so die Drehachse und die Spiegelebene meiner linearen Drehung und meiner linearen Spiegelung. Dann weiß ich aber schon, dass der Eigenraum zum EW 1 die Dimension 2 hat, da ja die Drehachse in der Spiegelebene liegt. Dann kann es sich aber nur noch um eine Spiegelung handeln. Ansonsten hätte der ER nicht Dimension 2. Jetzt muss ich ja mehr oder weniger nur noch zurück verschieben um wieder zu meiner affinen Abbildung zu kommen. Komme ich dann also zu meiner linearen Drehung, indem ich aus der affinen Drehung eine Translation so herausziehe, dass die Drehachse eine der Achsen des Vektorraums ist? Gruß Martin
24.01.2014, 10:54	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Drechachse nicht durch den Nullpunkt geht, sondern durch irgend einen Punkt $\begin{eqnarray} \vec x_0 \end{eqnarray}$ , wobei die Spiegelebene der anschließenden Spiegelung die Drehachse enthält, ist die Sache etwas komplizierter. Eine "inhomogene" Drehung eines Punktes $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ mit der Drehmatrix D lautet allgemein: $\begin{eqnarray} \vec x'=\vec x_0+D(\vec x-\vec x_0) \end{eqnarray}$ Da die Spiegelebene der anschließenden Spiegelung durch denselben Punkt geht, lautet die zugehörige "inhomogene" Spiegelung mit der Spiegelmatrix S $\begin{eqnarray} \vec x''=\vec x_0+S(\vec x'-\vec x_0) \end{eqnarray}$ Setzt man die erste Gleichung in die zweite Gleichung ein, hat man die zusammengesetzte Operation ("inhomogene" Drehspiegelung) $\begin{eqnarray} \vec x''=\vec x_0+S[\underbrace{\vec x_0+D(\vec x-\vec x_0)}_{\vec x'}-\vec x_0]=\vec x_0+SD(\vec x-\vec x_0) \end{eqnarray}$ Gesucht ist eine äquivalente "inhomogene" Spiegelung, welche dieser Drehspiegelung entspricht, also $\begin{eqnarray} \vec x''=\underbrace{\vec x_0+SD(\vec x-\vec x_0)}_{\text{Drehspiegung}}=\underbrace{\vec x_0+S'(\vec x-\vec x_0)}_{\text{äquivalente Spiegelung}} \end{eqnarray}$ Da sich die Summanden $\begin{eqnarray} \vec x_0 \end{eqnarray}$ herausheben, müssen wir nur zeigen, dass eine Spiegelmatrix S' existiert, so dass $\begin{eqnarray} S'=SD \end{eqnarray}$ O.B.d.A. wählen wir das Koordinatensystem so, dass die Drehachse parallel zur z-Achse liegt und dass die Spiegelebene parallel zur yz-Ebene liegt. Dann lauten die Drehmatrix D und die Spiegelmatrix S $\begin{eqnarray} D=\begin{pmatrix} \cos(\phi) & -\sin(\phi) & \\ \sin(\phi) & \cos(\phi) & \\ & & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S=\begin{pmatrix} -1 & & \\ & 1 & \\ & & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das Matrixprodukt SD ist $\begin{eqnarray} SD=\begin{pmatrix} -\cos(\phi) & \sin(\phi) & \\ \sin(\phi) & \cos(\phi) & \\ & & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Um zu zeigen, dass SD eine Spiegelmatrix ist, muss man zeigen, dass die Eigenwerte von SD lauten $\begin{eqnarray} \lambda_1=-1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_2=\lambda_3=1 \end{eqnarray}$ .
24.01.2014, 14:38	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, dass ich das verstanden habe. Ist es aber denn nicht einfacher, das über die Fixpunktmenge bzw. über den Eigenraum zum Eigenwert 1 der zugehörigen linearen Abbildung zu lösen? Wenn ich weiß, dass die Fixpunktmenge meiner Funktion zweidimensional ist, dann kann es sich doch nur um eine Spiegelung handeln oder? Drehspiegelung hat genau einen Fixpunkt, Translationhat keine Fixpunkte, Identität lässt alles fix, Schraubung hat keine Fixpunkte und Gleitspiegelung auch keine Fixpunkte. Drehung hat eine 1-dimensionale Fixpunktmenge. Oder übersehe ich da was? Gruß Martin
27.01.2014, 09:52	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Tat ist das Problem 2-dimensional. Ich habe versucht, die Aufgabe anschaulich zu lösen - also ohne viel mathematische Theorie. Dadurch wird die Sache etwas umständlich. Es geht wahrscheinlich einfacher.
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »