zwischenwertsatz stetig

Neue Frage »

23.01.2014, 15:31	marie-green	Auf diesen Beitrag antworten »
zwischenwertsatz stetig Meine Frage: hi ! gegeben ist eine funktion f: R -> R die stetig und surjektiv ist und eine funktion g: R-> R die stetig und beschränkt ist! wie kann ich zeigen, dass die gleichung f(x) = g(x) mindestens eine lösung hat? Meine Ideen: ich habe so angefangen: ich habe versucht, den zwischenwertsatz anzuwenden. dazu habe ich h(x) gebildet, mit h(x) = f(x) - g(x) = 0. um nun die nullstelle zu finden, wollte ich den zwischenwertsatz anwenden. doch iwie komme ich damit nicht weiter. kann mir jemand helfen, das wäre echt toll ?
23.01.2014, 15:44	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey marie--green! Die Idee mit h(x) ist doch super. Was kannst Du denn ueber h sagen, wenn x gegen plus bzw minus unendlich geht?
23.01.2014, 15:46	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zwischenwertsatz stetig Hallo, was kannst du denn durch die Surjektivität über die Funktionen wissen? Z.B. gibt es $\begin{eqnarray} a \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ derart, dass das mit dem $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ passt?
23.01.2014, 15:50	marie-green	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich weiß mal, dass h stetig ist, da f und g auch stetig sind! und das ist ja schon mal eine voraussetzung für den zwischenwertsatz. bei der surjektivität habe ich so meine probleme. vielleicht heißt das, dass mit der funktion f jeder wert des bildbereiches getroffen wird, aber welche elemente sind nun alle im bildbereich?
23.01.2014, 15:54	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal so gefragt: Du willst duch h(z)=0 fuer irgendein z zeigen. Was waere denn dann guenstig?
23.01.2014, 16:00	marie-green	Auf diesen Beitrag antworten »
dass die beiden funktionen f und g and der stelle z einen schnittpunkt haben!
Anzeige

23.01.2014, 16:02	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar, das willst du ja zeigen Aber du sollst ja den Zwischenwertsatz verwenden. Wenn Du den auf h anwenden willst, was waere dann gut?
23.01.2014, 16:07	marie-green	Auf diesen Beitrag antworten »
dass der bereich rechts von z positiv ist und der bereich links von z negativ oder umgekehrt
23.01.2014, 16:09	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Tendenziell richtig. Eigentlich musst Du nur zeigen, dass es Zahlen X und Y gibt, sodass h(X) und h(Y) unterschiedliche Vorzeichen haben. Nun, das musst du dir nun ueberlgen.
23.01.2014, 16:27	marie-green	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, und dass kann ich iwie mit den voraussetzungen "beschränkt" und "surjektiv" zeigen?
23.01.2014, 16:41	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Was weisst Du denn ueber $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty}f(x) \end{eqnarray}$ ?
23.01.2014, 16:46	marie-green	Auf diesen Beitrag antworten »
ich würde sagen, dass der grenzwert nicht existiert, da f(x) surjektiv ist, also jeder wert getroffen wird und es immer einen wert darüber bzw darunter gibt, der getroffen wird
23.01.2014, 16:50	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Obwohl du recht hast, ist der Grund nicht der von Dir genannte. Naemlich ist zB x-> x sehr wohl surjektiv (du solltest den Begriff noch mal genauer ansehen). Aber kann denn f beschraenkt bleiben, wenn x gegen unendlich geht?
23.01.2014, 16:52	marie-green	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für deinen tipp! nein, meiner meinung nach existiert dann keine schranke!
23.01.2014, 16:55	marie-green	Auf diesen Beitrag antworten »
ah, und da aber g(x) sehr wohl beschränkt ist, kann man einmal das f(x) so wählen, dass es größer dem g(x) ist, und somit ist h(x) positiv. dann kann man das f(y) welches ebenfalls unbeschränkt ist, (für y geht gegen - unendlich) kleiner als g(y) wählen, sodass h(y) negativ ist! kann man das so sagen?
23.01.2014, 17:00	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar, das ist die Idee hinter dem ganzen. Jetzt musst du es nur noch formal begruenden, und etwa eine Fallunterscheidung machen, nach plus minus unenldich.
23.01.2014, 17:03	marie-green	Auf diesen Beitrag antworten »
SUper danke, und unter "formal begründen" verstehst du was genau???
23.01.2014, 17:09	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, beispielsweise, warum es immer einen Punkt u gibt mit f(u)>g(u), zum Beispiel. Wir hatten ja bisher nur eine heuristische Debatte
23.01.2014, 17:19	marie-green	Auf diesen Beitrag antworten »
haha, ok! aber das wäre dann wegen der beschränktheit von g, richtig?
23.01.2014, 17:27	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
All right.
23.01.2014, 17:31	marie-green	Auf diesen Beitrag antworten »
DAAAAANKE! bist echt der beste

Neue Frage »

Antworten »

zwischenwertsatz stetig

Verwandte Themen