drei affine Spiegelungen an parallelen Ebenen wieder affine Spiegelung?

23.01.2014, 18:29	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
drei affine Spiegelungen an parallelen Ebenen wieder affine Spiegelung? Moin, wieder habe ich eine Vermutung über die Lösung, kann meine Vermutung aber nicht beweisen. Folgende Aufgabe: Seien $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ein 3-dimensionaler euklidischer affiner Raum und $\begin{eqnarray} \mathfrak{H}_i \subset X, i = 1,2,3 \end{eqnarray}$ affine Ebenen mit $\begin{eqnarray} \mathfrak{H}_1 \|\| \mathfrak{H}_2 \|\| \mathfrak{H}_3 \end{eqnarray}$ . Welche Art von Isometrie ist die Hintereinanderausführung der drei entsprechenden Spiegelungen $\begin{eqnarray} \sigma_{\mathfrak{H}_1} \circ \sigma_{\mathfrak{H}_2} \circ \sigma_{\mathfrak{H}_3} \end{eqnarray}$ ? ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lösungsansatz: Ich gehe davon aus, dass es sich wieder um eine Spiegelung handelt. Die Vermutung habe ich aus zweierlei Gründen. 1. Ich habe ganz unmathematisch drei parallele Geraden auf mein Blatt gemalt und daran Punkte gespiegelt. Es stellt sich heraus, dass man die Punkte auch alle an einer Geraden irgenwdo in der Mitte hätte spiegeln können. 2. Wir haben in den Hausaufgaben schon gezeigt, dass zwei Spiegelungen an parallelen Geraden in der euklidischen affinen Ebene, wenn man sie hintereinander ausführt, eine Translation ergeben. Wenn man dann die Translation mit einer weiteren Spiegelung verkettet, dann kann es keine Translation mehr sein. Ich wüsste aber auch nicht, wie eine Drehung daraus werden soll. Daraus folgt für mich, dass es sich um eine Spiegelung handeln muss. Wenn mir jetzt noch jemand verrät, wie man das vernünftig im 3-dimensionalen mathematisch begründet und auch aufschreibt, wäre ich ein großes Stück weiter. Gruß Martin

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