Sinusfunktion Nullstellen & c

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23.01.2014, 20:25	deeoNe	Auf diesen Beitrag antworten »
Sinusfunktion Nullstellen & c Guten Abend, morgen schreibe ich eine Mathematik Schulaufgabe und stelle deshalb nun einige Fragen. Mir ist noch nicht wirklich bewusst, wie ich aus einer Zeichnung, die durch den Parameter "c" in x-Richtung veranlasste Verschiebung herauslese, bzw. wie ich diese bestimmen kann. Außerdem ist mir entfallen, wie ich die Nullstellen einer Sinusfunktion bestimme, d.h welche Schrittgröße etc. muss ich in den Taschenrechner eingeben, um auf die Nullstellen zu kommen. Vielen Dank!
23.01.2014, 21:26	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nulldurchgänge der sin(x)- bzw. cos(x)-Funktion treten mit einer Periodenlänge von $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ auf. Daher gilt beispielsweise bei $\begin{eqnarray} \sin(bx + c) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} bx + c = 0 + k \cdot \pi; \quad k \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ woraus x berechnet werden kann. Sowohl die Periodenlänge als auch der Anfangsphasenwinkel (c) werden bei den Nullstellen durch die Größe b geteilt. mY+
23.01.2014, 21:43	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei einer trigonometrischen Funktion der Form $\begin{eqnarray} y=A\sin(kx+\phi) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist die Amplitude (Also die maximale Auslenkung) und $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ die Wellenzahl mit $\begin{eqnarray} k=\frac{2\pi}{\lambda} \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist die Wellenlänge also die Länge bis die Welle sich wiederholt). $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ gibt die Verschiebung und das Vorzeichen die Richtung an. Bei einem positiven Vorzeichen ist die Funktion nach links und bei einem negativen Vorzeichen nach rechts verschoben.
23.01.2014, 21:49	deeoNe	Auf diesen Beitrag antworten »
@Cheftheoretiker Danke für deine Antwort, dies ist mir jedoch schon bewusst. @mYthos Dir auch Danke für die Antwort, jedoch verstehe ich dies nicht ganz. Könntest du mir den gefallen tun und dies an einem Beispiel veranschaulichen? Also ein Beispiel, wie ich auf die Nullstellen komme und eins für den Anfangsphasenwinkel "c" - natürlich musst du das nicht.. Es würde mir jedoch wirklich sehr helfen. Dankeschön!
23.01.2014, 22:01	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Beispiel sin(bx + c) = 0 steht doch quasi schon da, es fehlt nur noch die Umstellung nach x Kannst du denn aus der zweiten Zeile das x berechnen? Wenn dir Zahlen lieber sind, rechne eben $\begin{eqnarray} sin(2x - 1) = 0 \end{eqnarray}$ Beachte auch, dass im Winkelargument die Größen x und c im Bogenmaß vorliegen! mY+
23.01.2014, 22:11	deeoNe	Auf diesen Beitrag antworten »
Nunja ich hätte jetzt gedacht, dass $\begin{eqnarray} x=\frac{-c}{b} \end{eqnarray}$ ist. Falls ich keine Regel ausgelassen habe um jedoch auf "c" zu kommen, bräuchte ich doch dann b und x ?
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23.01.2014, 22:30	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus $\begin{eqnarray} bx + c = 0 + k \cdot \pi; \quad k \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ folgt für x: $\begin{eqnarray} x = \frac {k \pi} b - \frac c b \end{eqnarray}$ Der erste Summand beschreibt nun die Existenz mehrfacher Nullstellen, der zweite [EDIT: Fehler berichtigt] den Versatz des Nulldurchganges bezüglich des Nullpunktes (wenn k = 0). mY+
23.01.2014, 22:34	deeoNe	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke mYthos ! Muss leider schlafen, sonst wird das morgen nichts. Da werd' ich morgen wohl einige Punkte verschenken. Ich werd's mir dann nochmal anschauen, ich weiß immernoch nicht wie ich durch diese Umstellung auf "c" komme. Vielleicht ist es einfach zu spät... Ich danke dir! Morgen in der Früh werde ich nochmals ins Forum schauen. PS: Habe nicht damit gerechnet, dass der Summand der Vielfachen eine wichtige Rolle spielt. Ich wünsche dir eine gute Nacht. LG Dennis
24.01.2014, 00:04	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist richtig, dass c der Anfangsphasenwinkel der gegebenen Schwingung ist. Die Kurve schneidet demgemäß bei - c/b die x-Achse, dieser Wert ist aber kein Phasenwinkel (entgegen der Aussage in meinem Vorpost, das habe ich zu korrigieren), sondern ein bestimmter x-Wert, in dem die Amplitude (senkrechte Auslenkung) gerade Null ist. Der Ort (x = -b/c) der Nullstelle ist natürlich von diesem Anfangsphasenwinkel (c) abhängig. Sehen wir uns das einmal für ein Zahlenbeispiel an: $\begin{eqnarray} sin (2x + 1) = 0 \end{eqnarray}$ 1 ist der Anfangsphasenwinkel (ca. 57° im Gradmaß) der gegebenen Schwingung, welcher dem c in der allgemeinen Funktion entspricht. Sh. dazu auch die Antwort von Cheftheoretiker. $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x + 1 = k \pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = - \frac 1 2 + k \frac {\pi} 2 \end{eqnarray}$ Die Nullstellen gehen nun von -c/2 = - 1/2 = -0.5 aus in beide Richtungen auf der x-Achse und jeweils im Abstand von $\begin{eqnarray} \frac {\pi} 2 \end{eqnarray}$ . Man sieht den Nulldurchgang des Graphen bei x = -0.5, und die Abstände der Nullstellen ist 1.57, das entspricht $\begin{eqnarray} \frac {\pi} 2 \end{eqnarray}$ . mY+

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