Bestimme die Quadranten der Komplexen Zahl

23.01.2014, 23:44

Mathemati

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Bestimme die Quadranten der Komplexen Zahl

Meine Frage:
Hallo,
Ich verstehe die folgende Aufgabe nicht. Ich soll bestimmen in welchem Quadranten die komplexe Zahl liegt.

Meine Ideen:
Ich habe mir die Gaußsche Zahlenebene aufgezeichnet um somit raus zu finden wo die Zahl liegt. Da a eine relle negative Konstante sein soll, habe ich mir einfach mal -2 vorgestellt und b welches eine positive relle Konstante sein soll +2 gewählt.

Somit würde sich -2+2jb ergeben. Da man bei a.) die konjungiert Komplexe bilden muss ( also dann -2-2jb, ist es nachvollziehbar das diese im Dritten Quadranten dann liegen muss.

Jedoch versteh ich b) c) d) absolut nicht...

Gruß

24.01.2014, 08:41

klarsoweit

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RE: Bestimme die Quadranten der Komplexen Zahl
Was ist jetzt an Aufgabe b unverständlich? verwirrt

verwirrt

z_2 ist der Kehrwert von w.

Im übrigen halte ich es für gefährlich, für a und b einfach irgendwelche Werte festzulegen.

24.01.2014, 10:46

Mathemati

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Wie soll man dann bei solch einem Typ von Aufgabe verfahren?
Ich komm auf kein Schema, wie man das am besten bestimmen kann unglücklich

unglücklich

.

24.01.2014, 10:59

klarsoweit

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Also so schwer kann das ja nicht sein. Bei Aufgabe a hast du w = a + i*b und folglich $\begin{eqnarray*} w^* = a - i*b \end{eqnarray*}$ . Jetzt brauchst du noch die Vorzeichen von Real- und Imaginärteil und dann weißt du, in welchem Quadranten das $\begin{eqnarray*} w^* \end{eqnarray*}$ liegt. Dein Beispiel liefert ja auch den richtigen Hinweis.

In ähnlicher Weise mußt du dir überlegen, welchen Real- und Imaginärteil 1/w hat.

24.01.2014, 11:29

Mathemati

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Die Zahl w= a+jb liegt im zweiten Quadranten, und das dann die konjungiert komplexe gespiegelt drunter liegt ist mir bewusst. Nur wieso liegt 1/w ( nicht konjungiert komplex) ebenfalls im dritten Quadranten?
Ist der Kehrwert von einer Komplexen Zahl wohl immer das konjungiert komplexe ?

24.01.2014, 11:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathemati
Nur wieso liegt 1/w ( nicht konjungiert komplex) ebenfalls im dritten Quadranten?

Das habe ich nicht behauptet bzw. wäre noch zu zeigen.

Zitat:

Original von Mathemati
Ist der Kehrwert von einer Komplexen Zahl wohl immer das konjungiert komplexe ?

Nein. Es gibt natürlich Fälle, wo das stimmt. Beispiel: i smile

smile

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24.01.2014, 11:59

Mathemati

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Ich vermute mal weil der Betrag von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ eins ist, entspricht der Kehrwert , der konjungiert komplexen. Und liegt somit im dritten Quadranten

Kann man $\begin{eqnarray*} w^3 \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} w^3=(a+ib)^3 \end{eqnarray*}$ schreiben ? Somit wäre das a immernoch negativ und das b positiv. Laut Lösung könnte diese Zahl aber im I , II, IV Quadranten liegen. Die Zahl ist doch einem Quadranten zugeordnet, wenn feste Vorzeichen vorhanden sind ?

24.01.2014, 12:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathemati
Ich vermute mal weil der Betrag von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ eins ist, entspricht der Kehrwert , der konjungiert komplexen. Und liegt somit im dritten Quadranten

Nun ja, auf der Trennlinie zwischen 3. und 4. Quadranten. Aber wie wäre es, wenn du das erstmal für den allgemeinen Fall 1/w untersuchst?

Zitat:

Original von Mathemati
Kann man $\begin{eqnarray*} w^3 \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} w^3=(a+ib)^3 \end{eqnarray*}$ schreiben ? Somit wäre das a immernoch negativ und das b positiv.

Natürlich kann man das so schreiben, aber welches a bzw. b meinst du jetzt? Also ich kann die Real- und Imaginärteile an $\begin{eqnarray*} (a+ib)^3 \end{eqnarray*}$ nicht direkt ablesen. Vielleicht ist es besser, bei diesem Teil der Aufgabe die Exponentialdarstellung von w zu betrachten.

24.01.2014, 12:57

Mathemati

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Ich versteh halt nicht was ich da groß untersuchen soll ohne konkrete Werte, und wie sich das bei $\begin{eqnarray*} w^3 \end{eqnarray*}$ signifikant ändern sollte. Durch die Hochzahlen ändert sich doch immer nur das Vorzeichen. Bei geraden Exponenten bekomme ich einen positiven Imaginärteil, der Realteil bleibt immer gleich, wegen dem positiven VZ.
In der Polarforum $\begin{eqnarray*} <br /> <br /> Z=r*e^{j\gamma} \end{eqnarray*}$ finde ich es nicht aufschlußreicher.

24.01.2014, 13:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathemati
Durch die Hochzahlen ändert sich doch immer nur das Vorzeichen. Bei geraden Exponenten bekomme ich einen positiven Imaginärteil, der Realteil bleibt immer gleich, wegen dem positiven VZ.

Ich glaube, da befindest du dich in einer falschen Vorstellungswelt. Nehmen wir mal $\begin{eqnarray*} w_1 = -1+2i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_2 = -2+i \end{eqnarray*}$ . Beide komplexen Zahlen sind im 2. Quadranten. Wo sind nun $\begin{eqnarray*} w_1^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_2^2 \end{eqnarray*}$ ?

24.01.2014, 13:18

Mathemati

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$\begin{eqnarray*} w_{1}² = 1 +2i² = -1 \end{eqnarray*}$ weil $\begin{eqnarray*} i²=-1 \end{eqnarray*}$ ist , somit ist man im negativen Bereich auf der Realteilachse, also zwischen dem zweiten und dem Dritten.

$\begin{eqnarray*} w_{2} ² = 2+i² = 1 \end{eqnarray*}$ , bei +1 auf der Realteilachse, also zwischen dem 1 und 4 Quadranten.

Seh ich das richtig?

24.01.2014, 13:42

klarsoweit

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unglücklich

Ich glaube, du solltest dich nochmal an den binomischen Formeln üben.

24.01.2014, 14:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von klarsoweit
Vielleicht ist es besser, bei diesem Teil der Aufgabe die Exponentialdarstellung von w zu betrachten.

Ich würde mal sagen, die Exponentialdarstellung ist generell hier eine gute Idee, bei allen Teilaufgaben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.01.2014, 14:49

klarsoweit

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Im Prinzip ja. Aufgaben a und b gehen auch ganz gut ohne. Außerdem kann man noch mal binomische Formeln üben. Big Laugh

Big Laugh

24.01.2014, 16:35

Mathemati

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Arrrggh bitter, an die denk ich nie Hammer

Hammer

.

$\begin{eqnarray*} w_{1}²=4i²-4i+1 \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} -3-4i \end{eqnarray*}$ Somit 3 Quadrant

$\begin{eqnarray*} w_{2}²=i²-4i+4 \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} 3-4i \end{eqnarray*}$ Somit 2 Quadrant

Ich hoff mal das das jetzt stimmt :P

26.01.2014, 21:31

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathemati
$\begin{eqnarray*} w_{1}²=4i²-4i+1 \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} -3-4i \end{eqnarray*}$ Somit 3 Quadrant

Richtig.

Zitat:

Original von Mathemati
$\begin{eqnarray*} w_{2}²=i²-4i+4 \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} 3-4i \end{eqnarray*}$ Somit 2 Quadrant

Falsch.

Jetzt haben wir ein Beispiel gerechnet. Jetzt mußt du dir überlegen, wie es mit einem allgemeinen w aussieht.

30.01.2014, 13:20

Mathemati

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Ich wollte sicherlich 4 Quadrant bei $\begin{eqnarray*} w_{2} ² \end{eqnarray*}$ schreiben verwirrt

verwirrt

.

$\begin{eqnarray*} w* \end{eqnarray*}$ entspricht wie schon gesagt der konjungiert komplexen Zahl. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{w} \end{eqnarray*}$ scheint auch das konjungiert komplexe zu sein.

Aber wie verhält sich $\begin{eqnarray*} w^3 \end{eqnarray*}$ , das ist ja kein Binom mehr. Das wäre doch eigentlich $\begin{eqnarray*} w^3=a^3+ib^3 \end{eqnarray*}$ .

30.01.2014, 14:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathemati
$\begin{eqnarray*} w* \end{eqnarray*}$ entspricht wie schon gesagt der konjungiert komplexen Zahl. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{w} \end{eqnarray*}$ scheint auch das konjungiert komplexe zu sein.

Das ist - wie gesagt - nicht immer der Fall (siehe w = 2i oder w=2), obwohl es da eine enge Verwandschaft gibt.

Zitat:

Original von Mathemati
Aber wie verhält sich $\begin{eqnarray*} w^3 \end{eqnarray*}$ , das ist ja kein Binom mehr. Das wäre doch eigentlich $\begin{eqnarray*} w^3=a^3+ib^3 \end{eqnarray*}$ .

Dann solltest du dir doch mal die allgemeine binomische Formel für höhere Potenzen ansehen.

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