Vektorraum aus einem Graphen darstellen?

24.01.2014, 00:08	someuser	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum aus einem Graphen darstellen? Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe erhalten: [attach]32862[/attach] Dieser Graph folgende Eigenschaften: 6 Knoten V 5 Kanten E G(V,E) ist somit G(6,5) Ich bin nicht sicher ob ich es richtig verstanden habe, die Elemente von V, also die Knoten bilden einen reellen Vektorraum. Ein Untervektorraum U gibt es nur für die Elemente aus V die die Nullregel erfüllen. Diese wird erfüllt wenn bei den Knoten die Summe der Werte der Nachbarin im Graphen Null ergibt. Wenn ich alle 6 Knoten jeweils von 1 bis 6 fortlaufen nummeriere habe ich erstmal alls Knoten mit Werten vorbelegt. Die drei linken Knoten hätten z.B. die Zahlen 1, 2 und 3. Aber wie stellt man hier den Vektorraum, Untervektorraum her, kann man diese Knoten zu Spaltenvektoren überführen?
24.01.2014, 13:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Knoten $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ bilden keinen Vektorraum. Die reellen Knotenbewertungen $\begin{eqnarray} W:=\{ f:V\to\mathbb R\} \end{eqnarray}$ bilden einen reellen Vektorraum, denn Funktionen kann man punktweise addieren und skalar multiplizieren. Jetzt sollst du drei Dinge tun. 1. Zeige dass $\begin{eqnarray} U<W \end{eqnarray}$ ein UVR von $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ ist . 2. Bestimme eine Basis $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ . 3. Stelle die Vektoren dieser Basis $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ graphisch dar. Tipp : Wegen $\begin{eqnarray} W\cong \mathbb R^6 \end{eqnarray}$ ist das alles nicht sonderlich schwierig.
25.01.2014, 09:08	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Allerdings frage ich mich, wie die $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ charakterisierende Bedingung zu lesen ist, wenn ein Knoten nur einen Nachbarn besitzt. Ist dieser dann mit $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ zu bewerten?
25.01.2014, 10:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das habe ich mich auch gefragt. Den UVR, der sich ergibt, wenn man die Frage mit JA beantwortet, habe ich berechnet. Den UVR, der sich ergibt, wenn man die Frage mit NEIN beantwortet, kann man genauso berechnen. Nur so hat man den doppelten Spaß. Nachtrag: "doppelter Spaß" ist übertrieben, denn bei NEIN kommt nur f(3)+f(5)=0 dazu, während bei JA f(3)=f(5)=0 gilt, also ist $\begin{eqnarray} dim(U_{NEIN})=dim(U_{JA})+1 \end{eqnarray}$ .
25.01.2014, 18:21	someuser	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wie werden überhaupt pro Knoten die Knotenbewertungen erstellt, z.B. der obere linke Knoten, welcher nur den rechten Nachbarknoten hat? Ich muss erstmal verstehen wie man zu einer Knotenbewertung kommt. Die Summe der Knoten muss die Nullsumme ergeben richtig? @Elvis, du hast geschrieben f(3)+f(5)=0, ergibt keinen UVR, die 3 bezieht sich auf die ersten drei Knoten links und dann die 5 Knotenmenge von einem Pfad links bis rechts, deshalb 5 Knoten richtig? Man könnte sich nun vorstellen jeder Pfad am Anfang und Ende kann verbunden werden, somit müsste sich die Nullsumme ergeben. Bei dem möglichen UVR ergeben beide Funktion jeweils für sich die Nullsumme f(3)=0 und f(5)=0 richtig?
26.01.2014, 11:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bist noch nicht auf der richtigen Spur. Ganz offensichtlich hast Du die Aufgabe nicht verstanden, und Du verstehst anscheinend auch nicht, was ich schreibe. Also noch einmal von vorne und ganz langsam zum Mitdenken. $\begin{eqnarray} G=(V,E) \end{eqnarray}$ ist ein Graph mit 6 Knoten in $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und 5 Kanten in $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ . Eine Knotenbewertung ist eine reelle Funktion $\begin{eqnarray} f:V\to \mathbb R, v\to f(v) \end{eqnarray}$ . Wenn wir uns darüber einig sind, dann zeige mir bitte, wie $\begin{eqnarray} W=\{f\|f :V\to \mathbb R\} \end{eqnarray}$ ein Vektorraum wird und warum dieser Vektorraum isomorph zum $\begin{eqnarray} \mathbb R^6 \end{eqnarray}$ ist. Erst wenn Du anfängst zu arbeiten, kannst Du verstehen, was hier vor sich geht, und dann helfe ich Dir gerne weiter.
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