k-Formen integrieren

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Hammala Auf diesen Beitrag antworten »
k-Formen integrieren
Meine Frage:
Hallo,
ich hab folgende Frage, ich kann die hochgeladene Aufgabe über k-Formen nicht lösen, weil meine Parametrisierung der Kurve viel zu kompliziert ist.
(über Polarkoordinaten für x,y und z=1-cos-sin.)

Meine Ideen:
danke
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: k-Formen integrieren
Wenn dir die Kurve nicht gefällt, benutze doch den Satz von Stokes.
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »
RE: k-Formen integrieren
wenn ichs hinkrieg
Stokes:


wenn man i*w ausrechnet, erhält man:



ich soll jetzt das also ableiten? (äußere Ableitung)
Dann in das Integral einsetzen.



falls das richtig sein sollte, komm ich wieder nicht weiter
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: k-Formen integrieren
Zitat:
Original von Hammala
Stokes:

Das ist nicht der Satz von Stokes...
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »
RE: k-Formen integrieren
ja, die beiden Integrationsgrenzen hab ich vertauscht,
komm bei der rechnung aber auch nicht weiter
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: k-Formen integrieren
Die -Form kannst du ja über eine Fläche mit als Rand integrieren. Nutze das Prinzip von Cavalieri, um das ganze auf ein hübsches Integral über eine Kreisfläche zurückzuführen.

Und was ist übrigens ?
 
 
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »
RE: k-Formen integrieren
statt w steht doch bei uns i*w?
Muss ich dann nicht darüber integrieren und darauf den satz von stokes/caliere anwenden?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: k-Formen integrieren
Das ist ja im wesentlichen das gleiche wie . Um den Satz von Stokes anwenden zu können, brauchst du aber tatsächlich und nicht nur , denn letzteres existiert ja nur auf .
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »
RE: k-Formen integrieren
soll ich jetzt das hier ausrechnen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: k-Formen integrieren
Nein, auch das ist nicht der Satz von Stokes.
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »
RE: k-Formen integrieren
was ist denn der satz von stokes?
ein bisschen mehr könntest du schon helfen
das ist meine erste aufg., wo ich diesen satz anwende.
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »
RE: k-Formen integrieren
welchen satz von stokes meinst du nun?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: k-Formen integrieren
Welchen findest du denn in deinen Unterlagen?
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »
RE: k-Formen integrieren
wir haben ihn noch nicht definiert, aber ich hab mich bisschen im forster und in wiki eingelesen: da steht:

M ist Mannigf.
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »
RE: k-Formen integrieren
es ist:


womöglich meinst du, dass dann unser M ist:

Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: k-Formen integrieren
Ach so, dann sag doch, dass ihr den noch nicht formuliert habt.
Ja, den meine ich. In diesem Fall würdest du ein Flächenstück so wählen, dass es den Rand hat. Dann müsstest du über diese Fläche integrieren müssen.

Aber den Satz kannst du ja noch nicht benutzen. Welche Wege zur Berechnung des gegebenen Integrals hast du denn?
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »
RE: k-Formen integrieren
das ist schon ok, den satz werden wir noch machen, ich übe klausuraufg.
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »
RE: k-Formen integrieren
dann stimmt ja, was ich vorher gesagt habe, das ist schon mal gut

wie integriere ich über ein wedgprodukt?
wenn ich in x und y was einsetze, was nur von t abhängt, zum Beispiel x=cos(t), y=sin(t), dann kommt da 0 raus
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: k-Formen integrieren
Zitat:
Original von Hammala
das ist schon ok, den satz werden wir noch machen, ich übe klausuraufg.

Ah, gut. Das wäre sonst eklig geworden smile

Zitat:
wie integriere ich über ein wedgprodukt?

Wie meinst du das? verwirrt

Naja, als Fläche kannst du z.B. eine "schräge Kreisfläche" mit als Rand wählen. Nach Cavalieri brauchst du nun nur noch über den Einheitskreis in der --Ebene integrieren. Das ist dann ein gewöhnliches Gebietsintegral, welches du mit Polarkoordinaten ganz nett lösen kannst.

Die genauen Schritte kannst du ja nun vielleicht ausführen.
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »
RE: k-Formen integrieren
Zitat:
Original von Hammala
es ist:


womöglich meinst du, dass dann unser M ist:



ich habe:



und habe gemeint, wie ich das Wedge Produkt wegkriege? ich kann nur über dxdy integrieren
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: k-Formen integrieren
Das ist in diesem Zusammenhang das gleiche.
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »
RE: k-Formen integrieren
jetzt habe ich zwei Fragen:

1. warum ist das in diesem Zsmh. das gleiche?

2. wenn ich das ausgerechnet habe, habe ich dann dann auch das Integral über i*w ausgerechnet?
du hast gemeint, dass es fast das gleiche ist, aber warum?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: k-Formen integrieren
Zitat:
Original von Hammala
1. warum ist das in diesem Zsmh. das gleiche?

Das ergibt sich aus der Definition des Integrals von Differentialformen.

Zitat:
2. wenn ich das ausgerechnet habe, habe ich dann dann auch das Integral über i*w ausgerechnet?
du hast gemeint, dass es fast das gleiche ist, aber warum?

Stell dir vor, es ist gegeben und man bezeichnet mit die Einschränkung von auf .
Dann gibt es auch kaum einen Unterschied zwischen und . Man definiert halt nur für Funktionen auf anstatt auf .
In diesem Fall ist es ganz ähnlich.
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1.
wenn ich aber dann spaßeshalber statt dann schreiben will, wird das Integal negativ, aber der Satz von Fubini würde sagen, dass die Integrale gleich sind

und zum Integral:
Fubini anwenden geht hier auch oder? Da wir auf einer Teilmenge von R^2 sind, reicht hier einfach nur Integrierbarkeit als Vorraussetzung aus?
oder Tonelli?
cavlieri hab ich noch nie benutzt
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