3 Variablen (x,y,z) Gradient und Hesse Matrix bestimmen

24.01.2014, 20:34

freeak_rider

3 Variablen (x,y,z) Gradient und Hesse Matrix bestimmen

Meine Frage:
Hallo smile

,

folgende Aufgabe : Bestimmen sie den Gradienten und die Hesse Matrix der Funktion f

f(x,y,z)=x^3-3x-y^2+4y-2yz-3z^2

Meine Ideen:
Die partiellen Ableitungen und den Gradienten bekomme ich hin :

müssten ja zum einen

fxx = 3x^2-3
fxy = -2y+4-2z
fxz = -2y-6z

sein, nur scheitere ich an der zweiten Ableitung zur HesseMatrix, die will einfach nicht symmetrisch sein o.O

(Hf)(x,y,z) = 6x
-2 -2
-2 -2

ich find meinen Denkfehler nicht , könnt ihr mir helfen?

Grüße freeak_rider

24.01.2014, 20:42

Master1991

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RE: 3 Variablen (x,y,z) Gradient und Hesse Matrix bestimmen

Zitat:

Original von freeak_rider
ich find meinen Denkfehler nicht , könnt ihr mir helfen?

$\begin{eqnarray*} f_{xx} = 3x^2-3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{xy} = -2y+4-2z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{xz} = -2y-6z \end{eqnarray*}$

So wie das da jetzt steht ist das nicht korrekt. Die Ergebnisse kommen zwar vor aber passen nicht zu den Bezeichnungen die du davor geschrieben hast.

Die Ergebnisse gehören zu den ersten! Partiellen Ableitungen. Also

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x} \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial z} \end{eqnarray*}$

Wie sehen deine zweiten Ableitungen aus? Also:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \end{eqnarray*}$ usw...

24.01.2014, 20:48

freeak_rider

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Danke :)
dann schein ich das ja (wie so oft :P ) missverstanden zu haben,

sind die zweiten Ableitungen nicht

$\begin{eqnarray*} 6x \end{eqnarray*}$ also von $\begin{eqnarray*} 3x^2 \end{eqnarray*}$ usw.

24.01.2014, 20:51

Master1991

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Ja.

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x \end{eqnarray*}$

Das stimmt soweit.

Wie sieht demnach dann die komplette Hesse Matrix aus?

24.01.2014, 20:58

freeak_rider

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also wäre

$\begin{eqnarray*} (Hf)(x,y,z) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6x \\ -2 & -2 & \\ -2 & -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?,

was ja eig quatsch ist, weils nicht symmetrisch ist oder ?

an der Stelle komm ich durcheinender...

24.01.2014, 21:05

Master1991

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Ok.

Da scheint klärungsbedarf zu bestehen. Wie sieht denn die Hesse Matrix aus?

Zunächst einmal muss sie für 3 Variablen vom Format 3x3 sein.

Die Einträge der Matrix ergeben sich dann zu:

$\begin{eqnarray*} H(f) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} \\\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y} & \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hilft dir das weiter beim Ausfüllen?

24.01.2014, 21:20

freeak_rider

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ehrlich gesagt nein...

ich kann mit dieser schreibweise einfach nichts anfangen :/

im Skript, das ich habe steht die Allgemeinform geschrieben als :

$\begin{eqnarray*} (Hf)(x,y,z)=\begin{pmatrix} fxx(x,y,z)& fxy(x,y,z) & fxz(x,y,z) \\ fyx(x,y,z) & fyy(x,y,z) & fyz(x,y,z) \\ fzx(x,y,z) & fzy(x,y,z) & fzz(x,y,z) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bedeutet doch jeweils die Zeile im Gradienten nochmal nach $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ abgeleitet hintereinander reinzuschreiben, also zb. für die erste Zeile

$\begin{eqnarray*} 6x \end{eqnarray*}$ und dann nichtsmehr, weil die anderen Ableitungen nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ in der Zeile wegfallen

24.01.2014, 21:27

Master1991

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Deine Schreibweise drückt das gleiche aus wie meine Augenzwinkern

Und ja du hast auch mit deiner Bedeutung recht, In der Hesse Matrix stehen die zweiten partiellen Ableitung der Funktion.

Und scheinbar bildest du auch die zweiten Ableitungen richtig.

Was jetzt irgendwie trotzdem nicht stimmt ist deine Matrix. Die Matrix hat, wie du selber gepostet hast 3x3 Einträge. Du kannst nicht einfach die Dimension der Matrix ändern nur weil ein Term zu Null wird.

Die Nullen musst du natürlich an die richtige Position der Matrix schreiben.

z.B:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2f}{\partial x \partial y} = f_{xy} = 0 \end{eqnarray*}$

Das heißt also auch das an die Stelle der Matrix eine Null eingetragen werden muss.

24.01.2014, 21:43

freeak_rider

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ohje... dankeschön

dann hatte ich mit meiner "Idee" recht, soweit war ich schonmal ^^
sprich die HesseMatrix war/ist

$\begin{eqnarray*} (Hf)(x,y,z)= \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -2 \\ 0 & -2 & -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wäre ja soweit auch symmetrisch

nur soll ich auf das Ding im b.) Teil

Extremstellen loslassen, bzw. testen

als da wäre z.B. (i) $\begin{eqnarray*} (1,3,-1) \end{eqnarray*}$

was mich verwirrt hat, weil das im Folgenden ja dann

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & 2 \\ 0 & -6 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ergibt.

aber da komm ich ja jetzt mit Definitheit, sprich Hauptminoren etc. nichtmehr weiter, wie ich es vermutlich (schematisch nach der Vorlesung &sämtlichen Hinweisen des Profs ) soll.

24.01.2014, 21:45

freeak_rider

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ohje... dankeschön

dann hatte ich mit meiner "Idee" recht, soweit war ich schonmal ^^
sprich die HesseMatrix war/ist

$\begin{eqnarray*} (Hf)(x,y,z)= \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -2 \\ 0 & -2 & -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wäre ja soweit auch symmetrisch

nur soll ich auf das Ding im b.) Teil

jetzt Extremstellen loslassen, bzw. testen

als da wäre z.B. (i) $\begin{eqnarray*} (1,3,-1) \end{eqnarray*}$

was mich verwirrt hat, weil das im Folgenden ja dann

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & 2 \\ 0 & -6 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ergibt.

aber da komm ich ja jetzt mit Definitheit, sprich Hauptminoren etc. nichtmehr weiter, wie ich es vermutlich (schematisch nach der Vorlesung &sämtlichen Hinweisen des Profs ) soll.

24.01.2014, 21:47

freeak_rider

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ohje... dankeschön

dann hatte ich mit meiner "Idee" recht, soweit war ich schonmal ^^
sprich die HesseMatrix war/ist

$\begin{eqnarray*} (Hf)(x,y,z)= \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -2 \\ 0 & -2 & -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wäre ja soweit auch symmetrisch

nur soll ich auf das Ding im b.) Teil

jetzt Extremstellen loslassen, bzw. testen

als da wäre z.B. (i) $\begin{eqnarray*} (1,3,-1) \end{eqnarray*}$

was mich verwirrt hat, weil das im Folgenden ja dann

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & 2 \\ 0 & -6 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ergibt.

aber da komm ich ja jetzt mit Definitheit, sprich Hauptminoren etc. nichtmehr weiter, wie ich es vermutlich (schematisch nach der Vorlesung &sämtlichen Hinweisen des Profs in der Vorlesung auf derartiges Klausurverfahren) soll.

24.01.2014, 21:57

Master1991

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Zitat:

Original von freeak_rider

sprich die HesseMatrix war/ist

$\begin{eqnarray*} (Hf)(x,y,z)= \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -2 \\ 0 & -2 & -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nein. Richtig ist:
$\begin{eqnarray*} (Hf)(x,y,z)= \begin{pmatrix} 6x & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -2 \\ 0 & -2 & -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von freeak_rider
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & 2 \\ 0 & -6 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Keine Ahnung wo du das nun her hast.

Grundsätzlich gilt für die Ermittelung von Extremstellen das selbe wie im Eindimensionalen. Übertragen auf das mehrdimensionale sind alle Punkte die:

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y,z) = 0 \end{eqnarray*}$

erfüllen, Kandidaten für Extremstellen. Um zu überprüfen ob dein Punkt also überhaupt eine Extremstelle sein kann reicht es ihn in den Gradienten einzusetzen und nur wenn dieser zu 0 wird ist der Blick auf die Hesse Matrix nötig.

Dann kann man mit der Definitheit der Matrix Argumentieren und oder die Determinante der Matrix ausrechnen.

24.01.2014, 22:10

freeak_rider

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oh ok

ich habs vll auch etwas blöd formuliert, ich soll die entsprechenden Punkte prüfen, ob es sich überhaupt um einen kritischen Punkt von $\begin{eqnarray*} (f) \end{eqnarray*}$ handelt, und wenn, ob es sich um einen Hochpunkt,Tiefpunkt oder Sattelpunkt handelt.

dh. ich setzte die mir vorgegebenen Punkte jetzt in den $\begin{eqnarray*} grad(x,y,z) \end{eqnarray*}$ ein,
rechne die ganze Geschichte aus und wenns Null wird, dann kommt die Hessematrix an die Reihe. (Definitheit)

dann wär von meiner Seite aus eig alles geklärt jetzt

_________________________________________

Danke für die Hilfe und Geduld zu so später Stunde ! und schönes Wochenende

24.01.2014, 22:18

Master1991

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Jop, genau so machst du das Augenzwinkern

Kein Problem. Wink

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