Alle holomorphen Funktionen finden, die eine Eigenschaft erfüllen

25.01.2014, 20:46	Algebrafan	Auf diesen Beitrag antworten »
Alle holomorphen Funktionen finden, die eine Eigenschaft erfüllen Guten Abend, stehe vor folgender Aufgabe: Finden Sie alle holomorphen Funktionen $\begin{eqnarray} f: C->C \end{eqnarray}$ , für die $\begin{eqnarray} f(\frac{1}{z}=f(z) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} z \in C/{0} \end{eqnarray}$ gilt. Bin dabei so vorgegangen: Da f auf ganz C holomorph ist, kann f in $\begin{eqnarray} z_0=0 \end{eqnarray}$ in eine Potenzreihe mit unendlich großem Konvergenzradius entwickelt werden. Es ist dann: f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nz^n $\begin{eqnarray} f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nz^n=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(1/z)^n=f(1/z) \end{eqnarray}$ Schaut man sich die ersten paar Summanden an, sieht man, dass $\begin{eqnarray} a_n=0 \end{eqnarray}$ sein muss für alle $\begin{eqnarray} n>0 \end{eqnarray*}$ Ist das so korrekt?
25.01.2014, 20:48	Algebrafan	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich kann nichts editieren... In der 3. Zeile soll stehen $\begin{eqnarray} f(1/z)=f(z) \end{eqnarray}$ und in der 4. von unten $\begin{eqnarray} f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nz^n \end{eqnarray*}$
25.01.2014, 22:03	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Alle holomorphen Funktionen finden, die eine Eigenschaft erfüllen Man müsste nur ggf. begründen, wieso man das sieht.
25.01.2014, 23:02	Algebrafan	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo , danke für die Antwort. Das dachte ich auch...aber wie könnte man das denn gut begründen?
25.01.2014, 23:05	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte das Stichwort "Koeffizientenvergleich" einbringen.
25.01.2014, 23:38	Algebrafan	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar. $\begin{eqnarray} f(z)=a_0z^0+a_1z^1+a_2z^2+a_3z^3+.......=a_0(1/z)^0+a_1(1/z)^1+a_2(1/z)^2+a_3(1/z)^3+......=f(1/z)<br /> \end{eqnarray}$ Durch Koeffizientenvergleich (Summandenvergleich?) erhalten wir: $\begin{eqnarray} a_0z^0=a_0(1/z)^0 \end{eqnarray}$ (Das gilt für jedes $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ aus C) $\begin{eqnarray} a_1z^1=a_1(1/z)^1 \end{eqnarray}$ (Gilt nur, wenn $\begin{eqnarray} a_1=0 \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} a_2z^2=a_2(1/z)^2 \end{eqnarray}$ (ebenfalls) .....etc. Also müssen alle $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ mit n>0 verschwinden. Somit ist f eine Konstante.
Anzeige

25.01.2014, 23:41	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, man erhält eher $\begin{align} \cdots&=\cdots\\0z^{-1}&=a_1z^{-1}\\a_0z^0&=a_0z^0\\a_1z^1&=0z^{-1}\\\cdots&=\cdots\,, \end{align}$ Wenn man die Potenzen von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ noch neben die Koeffizienten schreibt.
25.01.2014, 23:49	Algebrafan	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, vielen dank ...so offensichtlich
26.01.2014, 00:31	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, bevor niemand mehr was anmerkt: Koeffizientenvergleich ist hier in der Tat etwas gefaehrlich, weil links und rechts nicht in Potenzreihen, funktioniert hier aber, muss aber sauber begruendet werden. Nur ein Hint, Potenzreihenentwicklung ist immer ein Hammer, vielleicht tuts auch schon ein zarteres Werkzeug, das sofort zum Ziel fuehrt -- Stichwort Satz von Liouville. Alles Liebe!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »