Eigenvektor wenn die Algebraische Vielfachheit > 1

26.01.2014, 11:14	Stanislavv	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektor wenn die Algebraische Vielfachheit > 1 Hallo, Ich möchte gerne das Eigenwertproblem zu der Matrix A lösen. $\begin{eqnarray} <br /> A=\begin{pmatrix}4 & 4 & 2\\4 & 4 & 2\\2 &2 & 1\\\end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Matlab liefert mir zu der Matrix A die folgenden Eigenvektoren: $\begin{eqnarray} <br /> \vec{v_{0}} =\begin{pmatrix} 0.2357 \\ 0.2357 \\ -0.9428 \end{pmatrix} \vec{v_{1}}=\begin{pmatrix} 0.7071 \\-0.7071 \\0 \end{pmatrix} \vec{v_{2}}=\begin{pmatrix} -0.9428 \\0 \\ 0.3333 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Ich verstehe aber nicht, wie man diese berechnet, das Problem liegt darin, dass ich nicht weiss wie ich vorgehen muss, wenn die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts, resp. die geometrische Vielfachheit des Eigenvektors grösser als 1 ist. Meine Rechnung $\begin{eqnarray} <br /> A=\begin{pmatrix}4 & 4 & 2\\4 & 4 & 2\\2 &2 & 1\\\end{pmatrix}<br /> <br /> P_{A}= \lambda^{2}(-\lambda +9)<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \lambda_{0} = 0 \text{ \ \ \ \ \ \ \ algebraische Vielfachheit 2, nicht wahr?}\\<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \lambda_{1} = -9<br /> \end{eqnarray}$ Wenn ich nun den Eigenvektor zu $\begin{eqnarray} \lambda_{0} \end{eqnarray}$ bilden möchte. $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix}4-0 & 4 & 2\\4 & 4-0 & 2\\2 &2 & 1-0\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 4 & 2\\4 & 4 & 2\\2 &2 & 1\\\end{pmatrix} \rightsquigarrow \begin{pmatrix}2 & 2 & 1\\0 & 0 & 0\\0 &0 & 0\\\end{pmatrix}\rightsquigarrow\vec{v_{0}} = \begin{pmatrix}-\beta -0.5 \alpha \\ \beta \\ \alpha \end{pmatrix} \alpha, \beta \in R<br /> \end{eqnarray}$ Kann mir bitte jemand einen Tipp geben, wie ich aus dem Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda_{0} \end{eqnarray}$ den passenden Eigenvektor berechnen kann. Vielen Dank für alle Antworten Stanislav
26.01.2014, 11:48	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} \alpha=0, \beta=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha=1,\beta=0 \end{eqnarray}$ bekommst du 2 l.u. Eigenvektoren zu $\begin{eqnarray} \lambda_0=0 \end{eqnarray}$ . Übrigens ist $\begin{eqnarray} \lambda_1=9 \end{eqnarray}$ .
26.01.2014, 12:27	Stanislavv	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, vielen Dank für deine Antwort. Was ich nicht verstehe, ist, wieso mir Matlab gerade diesen Eigenvektor erstellt. Wären andere Eigenvektoren ebenso möglich? Danke nochmals Stanislav
26.01.2014, 13:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Algorithus muss sich entscheiden, das tut er und gibt eine von unendlich vielen möglichen Antworten. Ich entscheide mich meistens dafür, die Parameter 0 und 1 zu wählen. Der Eigenraum zum Eigenwert 0 ist ein 2-dimensionaler Vektorraum, denn $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ sind frei wählbar.

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