Zusammenhang zwischen var(x) und var(x^3) (Durchmesser zu Volumen)

26.01.2014, 14:16

john_doof

Zusammenhang zwischen var(x) und var(x^3) (Durchmesser zu Volumen)

Meine Frage:
Hallo,
ich möchte aus der gegebenen Standardabweichung des Durchmessers einer Kugel die Standardabweichung für das Volumen der zugehörigen Kugel bestimmen.

gegeben: std Durchmesser, Mittelwert Durchmesser
gesucht: std Volumen

Meine Ideen:
Volumen einer Kugel:
$\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} *\pi *(\frac{d}/{2})^{3} = \frac{1}{6}*\pi*d^{3} \end{eqnarray*}$

Varianz des Volumens:
$\begin{eqnarray*} Var(\frac{1}{6}*\pi*d^{3}) = (\frac{1}{6}*\pi)^2*Var(d^{3}) a = (\frac{1}{6}*\pi)^2 a*Var(d^{3}) = a* E[(d^3 - E(d^3))^{2}] = a* (E(d^{6}) - (E(d^3))^{2}) \end{eqnarray*}$

Varianz des Durchmessers:
$\begin{eqnarray*} Var(d) = E[(d - E(d))^{2}] =E(d^{2}) - (E(d))^{2}) \end{eqnarray*}$

Verhältnis zw. Varianz Durchmesser und Varianz Volumen:
$\begin{eqnarray*} \frac{a*Var(d^{3})}{Var(d)} = a* \frac{E(d^{6}) - (E(d^3))^{2}}{E(d^{2}) - (E(d))^{2}} \end{eqnarray*}$

26.01.2014, 16:32

HAL 9000

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Die alleinige Kenntnis der Standardabweichung von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ reicht nicht aus, um die Standardabweichung von $\begin{eqnarray*} X^3 \end{eqnarray*}$ zu berechnen, geschweige denn überhaupt einzugrenzen - man benötigt schon genauere Kenntnisse über die Verteilung von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Zur Demonstration dieser unzureichenden Information folgendes Beispiel:

Sei $\begin{eqnarray*} 0<p<1 \end{eqnarray*}$ und die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ zweipunktverteilt mit

$\begin{eqnarray*} P\left( X = \frac{\sqrt{p(1-p)}}{p} \right) = p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P\left( X = -\frac{\sqrt{p(1-p)}}{1-p} \right) = 1-p \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} E(X) = 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} E(X^2) = V(X) = 1 \end{eqnarray*}$ sowie (längere Rechnung)

$\begin{eqnarray*} \sqrt{V(X^3)} = \frac{1-3p+3p^2}{p(1-p)} = \frac{1}{p(1-p)}-3 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} p\searrow 0 \end{eqnarray*}$ sieht man, dass diese Standardabweichung von $\begin{eqnarray*} X^3 \end{eqnarray*}$ beliebig groß werden kann...

26.01.2014, 18:17

john_doof

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Mein konkretes Problem ist in diesem Fall folgendes:
Ich weiß dass die Verteilung der Volumina normalverteilt oder logarithmisch Normalverteilt sein soll. Der Benutzer des Programms soll allerdings auch die Durchmesser der Kugeln mit Mittelwert und Standardabweichung angeben können.
Gibt es für diesen konkreten Fall eine eindeutige Lösung des Problems?

26.01.2014, 18:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von john_doof
Ich weiß dass die Verteilung der Volumina normalverteilt oder logarithmisch Normalverteilt sein soll.

Wie so oft, werden die wesentlichen Informationen erst mit Verspätung nachgeliefert. Forum Kloppe

------------------------------

Zumindest im Falle lognormalverteilter Werte kannst du ohne größere Rechnung was machen:

Ist $\begin{eqnarray*} X\sim \mathcal{LN}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ , so ist ja $\begin{eqnarray*} \ln(X)\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} m\ln(X)\sim \mathcal{N}(m\mu,m^2\sigma^2) \end{eqnarray*}$ und folglich $\begin{eqnarray*} e^{m\ln(X)} = X^m\sim \mathcal{LN}(m\mu,m^2\sigma^2) \end{eqnarray*}$ .

In deinem Fall für m=3 nutzbar.

26.01.2014, 19:00

john_doof

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von john_doof
Ich weiß dass die Verteilung der Volumina normalverteilt oder logarithmisch Normalverteilt sein soll.

Wie so oft, werden die wesentlichen Informationen erst mit Verspätung nachgeliefert. Forum Kloppe

also wird im Fall einer Volumenberechnung (mit den Vorfaktoren)

$\begin{eqnarray*} \mu_{durchmesser} -> \mu_{volumen} \mu_{volumen} = (\frac{1}{6}*\pi)*3*\mu_{durchmesser} \end{eqnarray*}$

sowie
$\begin{eqnarray*} \sigma_{durchmesser} -> \sigma_{volumen} \sigma_{volumen} = (\frac{1}{6}*\pi)^2*3^2*\sigma_{durchmesser} \end{eqnarray*}$

Danke für die schnelle und kompetente Hilfe!
Leider dachte ich dass die Informationen ausreichend waren, bzw das Problem allgemeiner löslich wäre.

26.01.2014, 19:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von john_doof
also wird im Fall einer Volumenberechnung (mit den Vorfaktoren)

$\begin{eqnarray*} \mu_{durchmesser} -> \mu_{volumen} \mu_{volumen} = (\frac{1}{6}*\pi)*3*\mu_{durchmesser} \end{eqnarray*}$

sowie
$\begin{eqnarray*} \sigma_{durchmesser} -> \sigma_{volumen} \sigma_{volumen} = (\frac{1}{6}*\pi)^2*3^2*\sigma_{durchmesser} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du denn darauf? Beachte bitte, dass $\begin{eqnarray*} \mu,\sigma^2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 3\mu,9\sigma^2 \end{eqnarray*}$ lediglich die Parameter der zugehörigen Lognormalverteilungen sind - die Erwartungswerte bzw. Varianzen sind dann aber

$\begin{eqnarray*} E(X) = e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(X) = e^{2\mu+\sigma^2} \left( e^{\sigma^2}-1 \right) \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} E(X^3) = e^{3\mu+\frac{9\sigma^2}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(X^3) = e^{6\mu+9\sigma^2} \left( e^{9\sigma^2}-1 \right) \end{eqnarray*}$ .

D.h., du kannst und musst $\begin{eqnarray*} E(X^3),V(X^3) \end{eqnarray*}$ unter Nutzung dieser Formeln in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} E(X),V(X) \end{eqnarray*}$ darstellen, und das sieht dann gewiss etwas komplizierter aus als bei dir...

27.01.2014, 20:20

john_doof

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Ok,
danke nochmals.

Ausgehend von folgenden Formeln:
$\begin{eqnarray*} E(aX+b) = a*E(X) + b var(aX+b) = a^2*var(X) \end{eqnarray*}$

kann ich ja die Formeln für Erwartungswert und Varianz des Volumens (hoffentlich) so umformulieren:

$\begin{eqnarray*} E(\frac{1}{6}*\pi*X^3) = \frac{1}{6}*\pi*E(X^3) Var(\frac{1}{6}*\pi*X^3) = (\frac{1}{6}*\pi)^2*Var(X^3) \end{eqnarray*}$

nun sollte ich das Verhältnis ja folgendermaßen bilden können:

$\begin{eqnarray*} \frac{E(Volumen)}{E(Durchmesser)} = \frac{\frac{1}{6}*\pi*E(X^3)}{E(X)} = \frac{1}{6}*\pi*\frac{E(X^3)}{E(X)} \frac{Var(Volumen)}{Var(Durchmesser)} = \frac{(\frac{1}{6}*\pi)^2*Var(X^3)}{Var(X)} = (\frac{1}{6}*\pi)^2*\frac{Var(X^3)}{Var(X)} \end{eqnarray*}$

anschließend für die Erwartungswerte und Varianzen folgendes einsetzen:
$\begin{eqnarray*} E(X) = e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(X) = e^{2\mu+\sigma^2} \left( e^{\sigma^2}-1 \right) \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} E(X^3) = e^{3\mu+\frac{9\sigma^2}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(X^3) = e^{6\mu+9\sigma^2} \left( e^{9\sigma^2}-1 \right) \end{eqnarray*}$ .

dies führt zu folgendem:
$\begin{eqnarray*} \frac{E(Volumen)}{E(Durchmesser)} = \frac{1}{6}*\pi*\frac{e^{3\mu+\frac{9\sigma^2}{2}}}{e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}} \frac{Var(Volumen)}{Var(Durchmesser)} = (\frac{1}{6}*\pi)^2*\frac{e^{6\mu+9\sigma^2}( e^{9\sigma^2}-1)}{e^{2\mu+\sigma^2} ( e^{\sigma^2}-1)} \end{eqnarray*}$

hoffe, dass ich nun alles soweit verstanden habe

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