Ableitung arccot(x)

26.01.2014, 14:45	Mud91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung arccot(x) Hallo Leute, ich möchte hier die Ableitung von arccot(x). Das hab ich mit der Umkehrfunktion gemacht und habe für $\begin{eqnarray} (f^{-1}(x))'= \frac{-1}{sin(arccot(x))^2} \end{eqnarray}$ ich weis dass ich für $\begin{eqnarray} cot(x)=\frac{cos(x)}{sin(x)} = \frac{\sqrt{1-sin(x)^2}}{sin(x)} \end{eqnarray}$ doch wie löse ich sin(x) nach cot(x) auf ? Danke im voraus Es muss ja $\begin{eqnarray} \frac{-1}{1+x^2} \end{eqnarray}$ rauskommen
26.01.2014, 15:01	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung arccot(x) Ich gehe dabei immer folgendermaßen vor: $\begin{eqnarray} y=arccot(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=cot(y) \end{eqnarray}$ Nun implizit differenzieren und wir erhalten $\begin{eqnarray} 1=-csc^2(y)\cdot y' \end{eqnarray}$ oder auch $\begin{eqnarray} y'=-sin^2(y) \end{eqnarray}$ Da wir wissen das $\begin{eqnarray} cot(y)=\frac{cos(y)}{sin(y)} \end{eqnarray}$ gilt bzw. $\begin{eqnarray} cot(y)=\frac{AK}{GK} \end{eqnarray}$ (Also Ankathete dividiert durch Gegenkathete) kannst du die Beziehung mit $\begin{eqnarray} x=\frac{cos(y)}{sin(y)} \end{eqnarray}$ herstellen. Demnach ist $\begin{eqnarray} AK=x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} GK=1 \end{eqnarray}$ Nach Pythagoras gilt $\begin{eqnarray} AK^2+GK^2=H^2 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} x^2+1=H^2 \end{eqnarray}$ (Also Hypothenuse zum Quadrat). Demnach ist die Hypothenuse $\begin{eqnarray} H=\sqrt{x^2+1} \end{eqnarray}$ . Jetzt haben wir sowohl die $\begin{eqnarray} Ankathete=x \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} Gegenkathete=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Hypothenuse=\sqrt{x^2+1} \end{eqnarray}$ . Nun heißt es nur noch zusammensetzen. der Sinus ist ja $\begin{eqnarray} sin(y)=\frac{GK}{H} \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} y'=-\left(\frac{GK}{H}\right)^2=-\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \end{eqnarray}$ Demnach haben wir die Ableitung $\begin{eqnarray} y'(x)=-\frac{1}{x^2+1} \end{eqnarray}$ bestimmt. Edit: Die Ableitung $\begin{eqnarray} cot(y) \end{eqnarray}$ muss natürlich $\begin{eqnarray} -csc^2(y) \end{eqnarray}$ sein und demnach $\begin{eqnarray} \frac{1}{sin^2(y)} \end{eqnarray}$ . Ich habe oben Kosinus durch Sinus ersetzt. Beste Grüße!
26.01.2014, 15:19	Mud91	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort, ich kann leider damit nicht so viel anfangen. ich muss eigentlich nur nach sin(x) auflösen, dann hab ich es. Trotzdem danke.
26.01.2014, 15:49	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo hackt es denn? Ich habe doch quasi das Gleiche getan wie du bloß das ich anschließend die trigonometrischen Beziehungen ausgenutzt habe. Dazu muss man natürlich wissen das $\begin{eqnarray} \sin(x)=\frac{GK}{H} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos(x)=\frac{AK}{H} \end{eqnarray}$ bzw. eben das der $\begin{eqnarray} cot(x)=\frac{cos(x)}{sin(x)}=\frac{AK}{GK} \end{eqnarray}$ über diese Beziehungen definiert ist. Von $\begin{eqnarray} x=cot(y) \end{eqnarray}$ weiß man nun da der $\begin{eqnarray} cot(y)=\frac{AK}{GK} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \frac{x}{1}=\frac{AK}{GK} \end{eqnarray}$ . Demnach ist $\begin{eqnarray} AK=x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} GK=1 \end{eqnarray}$ . Danach kommt nur noch der Zusammenhang das $\begin{eqnarray} AK^2+GK^2=H^2 \end{eqnarray}$ und nach $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ aufgelöst. Da nun alle drei größen bekannt sind, kannst du die Beziehung $\begin{eqnarray} sin(x)=\frac{GK}{H} \end{eqnarray}$ ausnutzen und nur noch einsetzen.
26.01.2014, 15:55	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum der ärgerliche Doppelpost dort --> Ableitung arccot(x) Auch wenn dir die Antwort im Erstthread nicht gefällt, ist das kein Grund, einen weiteren Post mit derselben Frage aufzumachen! Der Zweitpost wird geschlossen und meine Antwort von dort hierherkopiert. mY+
26.01.2014, 15:56	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \cos^2x = \cot^2 x \cdot \sin^2 x \end{eqnarray}$ links den trigonometrischen Pythagoras anwenden, dann die sin-Quadrat Glieder auf eine Seite bringen, = 1, die sin-Quadrat ausklammern, .. --> $\begin{eqnarray} \sin^2 x = \frac 1 {\cot^2 x + 1} \end{eqnarray}$ mY+
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