Extremwertaufgabe - Inhaltsgrößte, gleichschenklige Dreieck, Kreis eingeschrieben

26.01.2014, 21:56

Henry der achte

Extremwertaufgabe - Inhaltsgrößte, gleichschenklige Dreieck, Kreis eingeschrieben

Meine Frage:
Hallo,

in meinem Mathe-Buch steht folgende Aufgabe, welche der Leher im Unterricht auch nicht lösen konnte. Nun habe ich es mal versucht, scheitere aber.

Aufgabenstellung:
Welches ist das Inhaltsgrößte gleichschenklige Dreieck, das einem Kreis mit dem Radius r eingeschrieben werden kann?

Folgende Lösung habe ich:
Gleichschenkliges Dreieck $\begin{eqnarray*} a=b=c=r*\sqrt{3} \end{eqnarray*}$
; $\begin{eqnarray*} x=\frac{\sqrt{3}*r}{2} \end{eqnarray*}$
; $\begin{eqnarray*} y=\frac{r}{2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
1. Skizze:
2. Hauptbedingung aufstellen:
ZF: $\begin{eqnarray*} A_{(c,h_{c})}=\frac{2*x*h_{c}}{2} \end{eqnarray*}$
3.Nebenbedingungen aufstellen:
NB1: $\begin{eqnarray*} h_{c}=r+y \end{eqnarray*}$
NB2: $\begin{eqnarray*} r^{2}=x^{2}+y^{2} \end{eqnarray*}$
4. Nebenbedingungen umformen:
$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{r^{2}-y^{2}} \end{eqnarray*}$
5. in ZF (Zielfunktion) einsetzen
$\begin{eqnarray*} A=\frac{2*\sqrt{r^{2}-y^{2}}*(r+y)}{2} \end{eqnarray*}$ - (die 2 kürzt sich)
$\begin{eqnarray*} A=\sqrt{r^{2}-y^{2}}*(r+y) \end{eqnarray*}$ - die Wurzel eleminieren mit ^1/2
$\begin{eqnarray*} A=(r-y)^{\frac{2}{3}}*(r+y) \end{eqnarray*}$

sooo. jetzt kann ich das noch ausmultiplizieren, bevor ich A' ableite
$\begin{eqnarray*} A=(r^{\frac{2}{3}}-2ry+y^{\frac{2}{3}})*(r+y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A=r^{\frac{3}{4}}-2r^{2}y+ry^{\frac{2}{3}}+ry^{\frac{2}{3}}-2ry^{2}+y^{\frac{3}{4}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A=r^{\frac{3}{4}}-2r^{2}y+2ry^{\frac{2}{3}}-2ry^{2}+y^{\frac{3}{4}} \end{eqnarray*}$ - da r ein konstanter Faktor ist, fällt er weg
$\begin{eqnarray*} A=-2y+2y^{\frac{2}{3}}-2y^{2}+y^{\frac{3}{4}} \end{eqnarray*}$

Und nun stehe ich auf der Leitung oder habe was falsch gemacht, denn hier komme ich nicht weiter. Und außerdem muss die Lösung ja ein gleichseitiges Dreieck sein.

Danke für Eure Hilfe

26.01.2014, 22:22

Stuhrmann

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RE: Extremwertaufgabe - Inhaltsgrößte, gleichschenklige Dreieck, Kreis eingeschrieben
Es gilt folgende Nebenbedingung: Nach dem Satz des Pythagoras gilt r²=(y-r)²+x² oder x²=r²-(y-r)².

Zielfunktion: A=xy oder A²=x²y² ****

****
edit von sulo: Rest der Komplettlösung entfernt. Bitte beachte das Boardprinzip.

26.01.2014, 22:43

Henry der achte

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OK. diese Nebenbedingung geht auch.

Aber was meinst du mit der Zielfunktion: A=xy oder A²=x²y² ???

Gesucht wird doch das inhalstsgrößte Dreieck.
Eventuell ist das die Zielfunktion?

ZF (lt. Sizze): $\begin{eqnarray*} a^{2}=(r+y)^{2}*x^{2} \end{eqnarray*}$

26.01.2014, 22:44

Stuhrmann

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RE: Extremwertaufgabe - Inhaltsgrößte, gleichschenklige Dreieck, Kreis eingeschrieben
Hinweis: Dein h entspricht meinem y.
Sorry für Mißachtung des Boardprinzips.

26.01.2014, 23:08

Stuhrmann

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RE: Extremwertaufgabe - Inhaltsgrößte, gleichschenklige Dreieck, Kreis eingeschrieben
Hinweis: Mit Zielfuktion ist der Flächeninhalt des gleichschenkeligen Dreiecks gemeint. Für ein gleichschenkeliges Dreieck gilt (falls der Koordinatenursprung K (0/0) ist: A = 1/2 (2*xy) = xy usw.

26.01.2014, 23:12

Henry der achte

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?????

Jetzt bin ich total verwirrt.

Die ZF habe ich ja schon aufgestellt:
ZF: $\begin{eqnarray*} A_{(c,h_{c})}=\frac{2*x*h_{c}}{2} \end{eqnarray*}$

26.01.2014, 23:23

Stuhrmann

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ich bin morgen wieder dabei und versuche Dir zu helfen. Gute Nacht.

27.01.2014, 08:35

Henry der achte

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Jetzt weiß ich wo das Grunglegende Problem liegt.
Das Ableiten einer Wurzel haben wir nicht gelernt, darum sind auch meine Wurzelableitungen falsch.

Ich werde mal im Laufe des Tages versuchen das Problem zu lösen.

27.01.2014, 09:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von Henry der achte
Jetzt weiß ich wo das Grunglegende Problem liegt.
Das Ableiten einer Wurzel haben wir nicht gelernt, darum sind auch meine Wurzelableitungen falsch.

Nur ein Hinweis zu dieser Frage: statt der Fläche A kann man auch das Quadrat der Fläche, also A², betrachten. Denn ist A² maximal, hat auch A an der gleichen Stelle ein Maximum. Das könnte helfen, Wurzelausdrücke bzw. das Ableiten derselben zu vermeiden. Augenzwinkern

27.01.2014, 11:05

Stuhrmann

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Dreieck
Beachte, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ auch als $\begin{eqnarray*} x^{1/2} \end{eqnarray*}$ geschrieben werden kann. Dann nutze die Ableitungsregel so wie Du sie gelernt hast.

27.01.2014, 15:45

Henry der achte

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OK, dann noch ein Versuch.

ZF: $\begin{eqnarray*} A=x*y \end{eqnarray*}$
NB: $\begin{eqnarray*} r^{2} =(y-r)^{2}+x^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} =r^{2}-(y-r)^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=y*x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} A^{2}=y^{2}*x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^{2}=y^{2}*x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^{2}=y^{2}*[r^{2}-(y-r)^{2}] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^{2}=y^{2}*[r^{2}-(y^{2}-2ry+r^{2})] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^{2}=y^{2}*[r^{2}-y^{2}+2ry-r^{2}] \end{eqnarray*}$ - r^2 fällt weg

$\begin{eqnarray*} A^{2}=y^{2}*[-y^{2}+2ry] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^{2}=-y^{4}+2ry^{3} \end{eqnarray*}$

Bin ich momentan noch richtig?

27.01.2014, 19:16

Stuhrmann

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Ja, Du liegst absolut richtig.

27.01.2014, 19:51

Henry der achte

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puhhhh, bis dahin war es ein starkes Stück Arbeit.

$\begin{eqnarray*} A'^{2}=-4y^{3}+6ry^{2} \end{eqnarray*}$

Nullsetzten

$\begin{eqnarray*} y=\frac{3}{2}r \end{eqnarray*}$

Einsetzten in die NB:
$\begin{eqnarray*} x^{2}=r^{2}-(\frac{3}{2}r-r^{2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2}*\sqrt{3}*r \end{eqnarray*}$

Überprüfung max:
$\begin{eqnarray*} A''^{2}=-12y^{2}+12y \end{eqnarray*}$
y = -1 -> max weil es <0 ist

27.01.2014, 23:19

Stuhrmann

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Dreieck
........also gleichseitiges Dreieck ist das mit der größten Fläche, oder?

28.01.2014, 07:53

Henry der achte

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Jep, es hzandelt sich um ein gleichseitiges Dreieck.

Thx

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