Integral mit Riemann-Summen berechnen

26.01.2014, 22:36	fermat2	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral mit Riemann-Summen berechnen Hallo, die Aufgabe lautet: Berechnen sie $\begin{eqnarray} \int_0^x t^n dt \end{eqnarray}$ mithilfe von Riemann-Summen. Validieren sie ihr Ergebnis mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ich würde so anfangen: Sei $\begin{eqnarray} Z={x_0,...,x_n} \end{eqnarray}$ eine Zerlegung von $\begin{eqnarray} [0,x] \end{eqnarray}$ , dann gibt es ein alpha, sodass für jedes $\begin{eqnarray} j=1,...,n \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \xi_j(\alpha) \end{eqnarray}$ zwischen $\begin{eqnarray} x_{j-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_j \end{eqnarray}$ gibt. Mir wurde noch folgender Tipp gegeben: Wähle $\begin{eqnarray} \xi_j(\alpha) \end{eqnarray}$ so, dass gilt: $\begin{eqnarray} \xi_j^2(\alpha)(x_j-x_{j-1}=\alpha(x_j^3-x_{j-1}^3) \end{eqnarray}$ . Finde $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ . Zeige dafür zunächst, dass $\begin{eqnarray} \frac{(1-t^3)}{(1-t)} = 1+t+t^2 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t \neq 1 \end{eqnarray}$ . Ich habe einige Zeit dran gesessen, aber ich sehe nicht den Zusammenhang der beiden Gleichungen im Tipp. Kann mir da jemand weiterhelfen? Danke schonmal und lg!
27.01.2014, 19:52	fermat2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah Mist! Es sollte $\begin{eqnarray} \int_0^x t^2 dt \end{eqnarray}$ heißen. Sei $\begin{eqnarray} Z={x_0,...,x_n} \end{eqnarray}$ eine Zerlegung von $\begin{eqnarray} [0,x] \end{eqnarray}$ , dann gibt es ein alpha, sodass für jedes $\begin{eqnarray} j=1,...,n \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \xi_j(\alpha) \end{eqnarray}$ zwischen $\begin{eqnarray} x_{j-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_j \end{eqnarray}$ gibt. Die Stützstellen sind sind bei $\begin{eqnarray} x_j = jx/n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_0 = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_n = x \end{eqnarray}$ . Wie kann ich ein konkretes $\begin{eqnarray} \xi_j(\alpha) \end{eqnarray}$ finden? Wenn ich die Riemann-Summe berechnen will, muss ich dann wohl $\begin{eqnarray} \xi_j^2(\alpha)(x_j-x_{j-1})=\alpha(x_j^3-x_{j-1}^3) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} f(\xi_j) \end{eqnarray}$ einsetzen? $\begin{eqnarray} S(f,Z) = \sum_{j=1}^n (x_j-x_{j-1}) * f(\xi_j) \end{eqnarray*}$
27.01.2014, 20:22	Grautvornix	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Hinweis kann ich, so wie er da steht, nicht so richtig einordnen. Es gilt jedenfalls: $\begin{eqnarray} \frac xn\sum_{k=1}^n\left(\frac {xk}n\right)^2=\ldots=\frac{x^3}3\cdot\frac{n+1}n\cdot\frac{n+\frac 12}n \end{eqnarray}$ und der Grenzübergang liefert jetzt das gewünschte Resultat.
27.01.2014, 20:57	fermat2	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, irgendwie erkenn ich das nicht. Warum Grenzübergang?
27.01.2014, 21:18	Grautvornix	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja, es gilt doch $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\left(\frac xn\sum_{k=1}^n\left(\frac {xk}n\right)^2\right)=\int_0^x t^2~\dd t \end{eqnarray}$ und mit dem zuvor Berechneten Wert lässt sich der Grenzwert links nun leicht angeben.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »