Definition Eigenwert (Was passiert bei f^0(v)=lambda^0(v)?)

27.01.2014, 09:31

Algebraico

Definition Eigenwert (Was passiert bei f^0(v)=lambda^0(v)?)

Meine Frage:
Hallo,
wir hatten in der Vorlesung folgenden Satz gezeigt (über vollständige Induktion)
Sei K ein Körper und V ein K_Vektorraum. Sei $\begin{eqnarray*} \lambda\in K \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert einer linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} f: V \Rightarrow V \end{eqnarray*}$ . Es gilt dann, dass $\begin{eqnarray*} \lambda^k \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray*} f^k \end{eqnarray*}$ ist für alle k aus den natürlichen Zahlen

Meine Ideen:
Ich habe Beweis und Aussage des Satzes verstanden.
Meine Frage ist: Was passiert, wenn k=0 ist? Wir haben die natürlichen Zahlen als bei 1 beginnend definiert, mich interessiert die Frage aber trotzdem.

Dann müsste ja gelten $\begin{eqnarray*} f^0(v)=\lambda^0\cdot v\Leftrightarrow v=v \end{eqnarray*}$

Ist in diesem Fall einfach der Eigenwert nicht definiert, da wir ja gar keine Abbildung haben und also auch keine Matrix haben, die der linearen Abbildung entsprechen könnte?

Oder (da ja eine allgemeingültige Aussage folgt) gilt, dass jeder Wert v Eigenwert ist?

Freue mich über eure Antworten.

27.01.2014, 09:53

klarsoweit

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RE: Definition Eigenwert (Was passiert bei f^0(v)=lambda^0(v)?)
Also v kann kein Eigenwert sein, sondern allenfalls $\begin{eqnarray*} \lambda^0 \end{eqnarray*}$ . Die eigentliche Frage ist aber, wie denn $\begin{eqnarray*} f^0 \end{eqnarray*}$ definiert ist. Ein möglicher Kandidat wäre die Identitäts-Abbildung. Das würde auch in den Kontext passen. smile

30.01.2014, 14:30

Algebraico

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Zitat:

Also v kann kein Eigenwert sein, sondern allenfalls $\begin{eqnarray*} \lambda^0 \end{eqnarray*}$

oh ja.. ich meinte eigentlich dass dann jedes v Eigenvektor ist. Und dazu $\begin{eqnarray*} \lambda^0 \end{eqnarray*}$ Eigenwert.

Zitat:

Die eigentliche Frage ist aber, wie denn $\begin{eqnarray*} f^0 \end{eqnarray*}$ definiert ist.

Ja, stimmt. In der Aufgabe ist es gar nicht definiert (es wird ja nicht betrachtet), aber die Identitätsabbildung ist sinnvoll. Damit ist 1 Eigenwert und jedes v Eigenvektor

Danke

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