Multiplizieren mit Einheitswurzeln |
| 27.01.2014, 10:27 | pittersen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Multiplizieren mit Einheitswurzeln Hallo alle zusammen! Ich sitze vor folgendem Problem. Das Element a sei aus dem Körper K, der durch das Adjungieren einer 21-ten Einheitswurzel an die Rationalen Zahlen entsteht. Dabei sei a aber kein Element der rationalen Zahlen; dh. a ist eine Imaginäre Zahl. Weiter sei das Element b eine neunte Einheitswurzel, die keine dritte Einheitswurzel ist. Mit a*, bzw b* sei hier die komplexe Konjugation von a bzw. b bezeichnet. Ich vermute nun, dass das Element ba+b*a* im Körper der 63ten Einheitswurzeln enthalten ist, aber in keinem "kleineren" Kreisteilungskörper. Ich will also insbesondere zeigen, dass ba+b*a* nicht im Körper der 21ten Einheitswurzeln enthalten ist. Bitte entschuldigt, dass ich kein Latex nutze. Meine Ideen: Ansatz: es gilt ba+b*a* = 2*Realteil(ba). Es genügt also zu zeigen, dass Realteil(ba) kein Element im Körper der 21ten Einheitswurzel ist. Vielleich geht das über Additionstheoreme des Kosinus: Realteil(ab) = cos(arg(ab)) = cos(arg(a)+2PI/9) = cos(arg(a))cos(2PI/9) - sin(arg(a))sin(2PI/9) Ich bin für den kleinsten Hinweis und Denkanstoß dankbar, also bitte schreibt, wenn euch irgendwas einfällt. Da das editieren der Frage nicht klappt, muss ich leider selbst antworten: (eingefügt von tigerbine) Der obige Ansatz ist nicht gut; außerdem fehlt in der Gleichung noch der Betrag des Elements. Ich denke man sollte einen anderen Ansatz wählen. Ps: bitte schreibt wenigstens, ob ihr mein Problem versteht! Danke |
||||
| 27.01.2014, 15:17 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Multiplizieren mit Einheitswurzeln hallo, ich habe dein problem verstanden und darüber nachgedacht. Es ist ja so, wenn man 2 komplexe zahlen multipliziert, addieren sich die winkel und umd multiplizieren sich die beträge. Bei deiner ersten zahl ist der winkel ein vielfaches von 2pi/21 , bei deiner zweiten zahl ein vielfaches von 2pi/9. Wenn man jetzt die beiden winkel addiert, kann man ja überlegen, ob und wann das ergebnis ein vielfaches von 2pi/21 sein kann... gruss ollie3 |
||||
| 28.01.2014, 11:39 | pittersen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo ollie3! Vielen Dank für deine Antwort und deine Überlegungen erstmal. Ich freue mich sehr, dass jemand geantwortet hat. Ich verstehe, was du sagen willst. Allerdings handelt es sich bei meinem Element a nicht unbedingt um eine 21te Einheitswurzel. Das Element a ist einfach aus dem Körper der durch Adjungieren einer 21ten Einheitswurzel entsteht, muss aber selbst keine 21te Einheitswurzel sein. Ich fürchte daher, dass der "Winkel von a" nicht einfach ein Vielfaches von 2PI/21 ist. Somit könnte ich dein Argument nicht verwenden oder sehe ich das falsch? Bitte lass mich wissen, ob du verstehst was ich meine. Gruß pittersen! |
||||
| 28.01.2014, 11:58 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dieses "d.h." verstehe ich nicht: Meinst du hier nicht eher "echt komplex" statt "imaginär" ? 
|
||||
| 28.01.2014, 12:25 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo pittersen, ich glaube du hast recht, und man muss hier körpertheoretische überlegungen anstellen und den grad der erweiterungen betrachten. Wir haben ja einmal Q(zeta_21) und einmal Q(zeta_9) mit den graden 21 und 9. Wenn man ein element aus Q(zeta_21) mit einem element aus Q(zeta_9) multiplitiert, kann man nicht immer erwarten, das das ergebnis wieder in Q(zeta_21) liegt, weil ja nicht alle elemente aus Q(zeta_9) in Q(zeta_21) drin sind, so einfach ist das glaube ich... gruss olllie3 |
||||
| 28.01.2014, 12:40 | pittersen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@HAL9000: ja, du hast natürlich recht. Bitte entschuldige! @ollie3: Ich denke, dass du dich bei den Körpergraden irrst. Der Grad von Q(zeta21) ist doch 12 und der von Q(zeta9) ist 6. Es gilt soweit ich weiß: Grad(Q(zetaN)) = phi(N), wobei phi die Eulersche Phi-funktion ist. Ansonsten hast du schon Recht, dass man so argumentieren kann, dass ab nicht in Q(zeta21) liegt. Das zeigt die Behauptung aber noch nicht für die Summe ab +a*b* oder irre ich mich da? Irgendwie stehe ich etwas auf dem Schlauch. Auf jeden Fall Danke, dass ihr beide euch Gedanken macht. Das freut mich sehr!!! |
||||
| Anzeige | ||||
|
|
||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
