Integration mit Sinus und Cosinus

27.01.2014, 11:05

Alinchen93

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Integration mit Sinus und Cosinus

Hallo!

Ich lerne im Moment ein Wenig für die Uni und bin nun auf eine Aufgabe gestoßen, bei der ich leider nicht weiterkomme.

Ich soll folgendes Integral bestimmen:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \sin(x/2) \cos(x/2) \, dx \end{eqnarray*}$

Ich hatte mir überlegt, dass ich x/2 substituiere und ersteinmal durch z ersetze.
Dann könnte ich sin(z)*cos(z) mithilfe der partiellen Integration so umformen, dass ich (sin²z)/2 habe.

Wenn ich für z dann wieder x/2 einsetze, wär mein Integral also:
sin²(x/2)/2 (muss ich an dieser Stelle noch mit dz/dx multiplizieren? Also mit 1/2?)

Wenn ich dann allerdings Werte einsetze, um es mit dem Taschenrechner zu überprüfen, erhalte ich andere Werte, als ich eigentlich sollte...

Wo ist mein Denkfehler? Kann ich irgendeinen Schritt nicht einfach so machen?

Würde mich über schnelle Antworten sehr freuen,
Alina smile

smile

27.01.2014, 11:13

klarsoweit

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RE: Integration mit Sinus und Cosinus
Verdachtsweise ist bei der Substitution von x/2 etwas schief gegangen. Das läßt sich aber nur erhärten, wenn du mal die einzelnen Rechenschritte offenlegst.

27.01.2014, 11:24

Alinchen93

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z = x/2
dz/dx = 1/2

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! sin(z)cos(z) \, \frac{1}{2} dx = sin²(z) - \int_a^b \! sin(z)cos(z) \, \frac{1}{2} dx \end{eqnarray*}$
daraus folgt

$\begin{eqnarray*} 2\int_a^b \! sin(z)cos(z) \, \frac{1}{2} dx = sin²(z) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! sin(z)cos(z) \, \frac{1}{2} dx =\frac{sin²(z)}{2} \end{eqnarray*}$

das sind meine Rechenschritte

27.01.2014, 11:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von Alinchen93
z = x/2
dz/dx = 1/2

$\begin{eqnarray*} \int_a^b sin(z)cos(z) \frac{1}{2} dx \end{eqnarray*}$

Da liegt doch irgendwo der Hund begraben, mal abgesehen davon, daß das "dx" im Integral nichts mehr verloren hat. Wie dem auch sei, es gilt:

$\begin{eqnarray*} \int \sin(\frac x 2) \cos(\frac x 2) ~dx = \int \sin(z) \cos(z) ~2dz \end{eqnarray*}$

27.01.2014, 11:47

Alinchen93

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wenn ich dann also 2dz habe... (ja irgendwie hab ich da was verdreht Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

inwiefern mach ich dann weiter?
$\begin{eqnarray*} \int \sin(z) \cos(z) ~2dz = \frac{\sin²z}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \sin(x/2) \cos(x/2) ~dx = \frac{\sin²(\frac{x}{2})}{2} \end{eqnarray*}$

das passt doch trotzdem nicht, oder?

27.01.2014, 12:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von Alinchen93
inwiefern mach ich dann weiter?
$\begin{eqnarray*} \int \sin(z) \cos(z) ~2dz = \frac{\sin²z}{2} \end{eqnarray*}$

Daß das nicht stimmt, ist leicht nachzurechnen. Du müßtest deine komplette Rechnung nochmal mit dem richtigen Integral machen.

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27.01.2014, 12:09

Alinchen93

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ohman diese Aufgabe macht mich fertig...

wenn ich also habe:

$\begin{eqnarray*} \int \sin(z) \cos(z) ~2dz = \sin²(z) - \int \sin(z) \cos(z) ~2dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 4\int \sin(z) \cos(z) ~dz = \sin²(z) \end{eqnarray*}$

das würde bedeuten, dass ich nicht $\begin{eqnarray*} \frac {sin² (\frac {x}{2})}{2} \end{eqnarray*}$ habe, sondern $\begin{eqnarray*} \frac {sin² (\frac {x}{2})}{4} \end{eqnarray*}$

soweit richtig?
wäre das dann also das richtige Integral?

27.01.2014, 12:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von Alinchen93
wenn ich also habe:

$\begin{eqnarray*} \int \sin(z) \cos(z) ~2dz = \sin²(z) - \int \sin(z) \cos(z) ~2dz \end{eqnarray*}$

Das ist doch schon falsch.

27.01.2014, 12:33

Alinchen93

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ein Wenig genauer wäre schön...

27.01.2014, 12:46

klarsoweit

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Genau das erwarte ich von dir.
Schreibe $\begin{eqnarray*} \int \sin(z) \cos(z) ~2dz = \int 2\sin(z) \cos(z) ~dz \end{eqnarray*}$ und dann müßte dir auffallen, daß vor dem sin²(z) ein Faktor 2 abhanden gekommen ist.

27.01.2014, 13:10

Alinchen93

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wieso steht denn vor sin²(z) eine 2?

Bei der partiellen Integration heißt es doch:
$\begin{eqnarray*} \int u'v = uv - \int uv' \end{eqnarray*}$

im mittleren Teil, also bei u*v ist ja kein Integral, demnach steht dort ja auch kein dx bzw dz... demnach... woher kommt dann der Faktor 2?

Wenn ich also cos(z) als als u' und sin(z) als v "belege", dann müsste im mittleren Teil ja sin(z) * sin(z) stehen... also sin²(z)
der hintere Teil ist wie der erste, also $\begin{eqnarray*} 2 \int sin(z)cos(z) ~dz \end{eqnarray*}$

... ergo:
$\begin{eqnarray*} 2 \int sin(z)cos(z) ~dz = sin²(z) - 2 \int sin(z)cos(z) ~dz \end{eqnarray*}$

wo also kommt der Faktor 2 vor sin²... her...?

Es tut mir leid, aber irgendwie scheine ich grade wirklich auf dem Schlauch zu stehen.

27.01.2014, 13:20

klarsoweit

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Zitat:

Original von Alinchen93
... ergo:
$\begin{eqnarray*} 2 \int sin(z)cos(z) ~dz = sin²(z) - 2 \int sin(z)cos(z) ~dz \end{eqnarray*}$

Wir sind uns einig, daß dieses gilt: $\begin{eqnarray*} \int sin(z)cos(z) ~dz = sin²(z) - \int sin(z)cos(z) ~dz \end{eqnarray*}$

Mithin gilt: $\begin{eqnarray*} 2 \int sin(z)cos(z) ~dz = 2 \cdot (sin²(z) - \int sin(z)cos(z) ~dz) = 2 \cdot sin²(z) - 2 \int sin(z)cos(z) ~dz) \end{eqnarray*}$
Da kommt also nicht das raus, was du hast.

Vielleicht mußt du mal über die Funktionen u und v nachdenken. Es ist doch wohl eher u' = 2cos(z) . Irgendwo mußt du doch den Faktor 2 in deinem Integral verarbeiten

27.01.2014, 13:44

Alinchen93

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wieso ist u' denn 2cos(z)... wenn u = sin(z) ist.
.. die Ableitung von sin(z) muss doch cos(z) sein?

und wieso multiplizierst du es mit 2? Ich hatte gedacht, ich schiebe den hinteren Teil, also $\begin{eqnarray*} 2\int sin(z)cos(z) ~dz \end{eqnarray*}$ , auf die andere Seite... also
$\begin{eqnarray*} 2\int sin(z)cos(z) ~dz - (- 2 \int sin(z) cos(z) ~dz) = sin²(z) \end{eqnarray*}$

...

wieso hast du denn jetzt $\begin{eqnarray*} \int sin(z)cos(z) ~dz \end{eqnarray*}$ und nicht 2dz... wir hatten doch vor ein paar Beiträgen geregelt, dass dort 2dz stehen muss, weil dx = 2*dz ist...

jetzt bin ich noch mehr verwirrt...

27.01.2014, 13:57

Alinchen93

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ah ich glaube jetzt verstehe ich es..

ich mache die partielle Integration ja schließlich erst NACHDEM ich substituiert habe...
demnach ist meine Ausgangsformel eine andere, also
$\begin{eqnarray*} \int 2 sin(z)cos(z) ~dz \end{eqnarray*}$

also wäre mein u' = 2cos (z) und mein v = sin(z)
mein u=2sin(z) (?) und mein v'=cos(z)

demnach würde gelten:
$\begin{eqnarray*} \int 2 sin(z)cos(z) ~dz = 2sin²(z) - \int 2sin(z)cos(z) ~dz \end{eqnarray*}$

demnach hätte ich dann also
$\begin{eqnarray*} \int sin(z)cos(z) ~dz = \frac {2 sin²(z)}{4} \end{eqnarray*}$

...? traurig

traurig

27.01.2014, 14:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von Alinchen93
demnach hätte ich dann also
$\begin{eqnarray*} \int sin(z)cos(z) ~dz = \frac {2 sin²(z)}{4} \end{eqnarray*}$

Das stimmt zwar, aber dieses Integral wollen wir nicht. Wir wollen dieses: $\begin{eqnarray*} \int 2 sin(z)cos(z) ~dz \end{eqnarray*}$

27.01.2014, 15:07

Alinchen93

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demnach wäre das gesuchte Integral nur sin²(z)?

wenn ich mir dann aber Werte nehme (bei der Aufgabe war als obere Grenze 3Pi und als untere 2Pi) stimmt mein Ergebnis für die Fläche nicht mit dem des Taschenrechners überein...

27.01.2014, 15:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von Alinchen93
demnach wäre das gesuchte Integral nur sin²(z)?

Bzw. nach Rücksubstitution sin²(x/2)

Zitat:

Original von Alinchen93
wenn ich mir dann aber Werte nehme (bei der Aufgabe war als obere Grenze 3Pi und als untere 2Pi) stimmt mein Ergebnis für die Fläche nicht mit dem des Taschenrechners überein...

Setzt du das jetzt in sin²(z) ein. Dann hättest du aber bei der Substitution die Grenzen auch transformieren müssen. smile

smile

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